F-Verteilung

F-Verteilung

Die F-Verteilung oder Fisher-Verteilung, auch Fisher-Snedecor-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher und George W. Snedecor), ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine F-verteilte Zufallsvariable ergibt sich als Quotient zweier jeweils durch die zugehörige Anzahl von Freiheitsgraden geteilter Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen. Die F-Verteilung besitzt zwei unabhängige Freiheitsgrade als Parameter und bildet so eine Zwei-Parameter-Verteilungsfamilie.

Die F-Verteilung wird häufig als Nullverteilung von Teststatistiken verwendet (F-Test), um festzustellen, ob sich die Varianzen zweier Grundgesamtheiten signifikant unterscheiden. Auch im Rahmen der Varianzanalyse wird mit einer F-Statistik auf signifikante Unterschiede zwischen Grundgesamtheiten (Gruppen) getestet. [1]

Inhaltsverzeichnis

Definition

Dichtefunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden m und n
Verteilungsfunktion der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden m und n

Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung \,F(m,n), mit m Freiheitsgraden im Zähler und n Freiheitsgraden im Nenner, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x|m,n) = 
\begin{cases} 
m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{\Gamma (\frac{m}{2}+\frac{n}{2})}{\Gamma (\frac{m}{2}) \Gamma (\frac{n}{2})} \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^\frac{m+n}{2}} & \text{wenn} \; x \geq 0 \\ 
0 & \text{sonst} \\
\end{cases}

besitzt. Dabei ist mit Γ(x) die Gammafunktion an der Stelle x bezeichnet.

Alternativ lässt sich die F-Verteilung mit m Freiheitsgraden im Zähler und n Freiheitsgraden im Nenner, auch definieren als die Verteilung der Grösse

F_{m,n}=\frac{\chi_m^2/m}{\chi_n^2/n},

wobei \chi_m^2 und \chi_n^2 unabhängige, χ²-verteilte Zufallsvariablen sind mit bzw. m und n Freiheitsgraden.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist nur für n > 2 definiert und lautet dann

\operatorname{E}(X) = \frac{n}{n-2}.

Varianz

Die Varianz ist nur für n > 4 definiert und lautet dann

\operatorname{Var}(X) = \frac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}.

Verteilungsfunktion

Die Werte der Verteilung P(X \leq x) = F(x|m;n) werden meist numerisch ermittelt und in einer Tabelle angegeben. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i.a. nicht notwendig, so dass die meisten Verteilungstabellen die Quantile bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:

F(p;m;n) = \frac{1}{F(1-p;n;m)} \;,

wobei F(p;m;n) das p-Quantil der F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden bedeutet.

Die F-Verteilung lässt sich geschlossen ausdrücken als

F(x|m;n)= I\left(\frac{m\cdot x}{m\cdot x+n},\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right),

wobei  I(z,a,b)=\frac{1}{B(a,b)}\cdot \int_0^z t^{a-1} (1-t)^{b-1}\mathrm{d}t die regularisierte unvollständige Betafunktion darstellt.

Maximum

Für m > 2 nimmt f an der Stelle

x_{\mathrm{max}}=\frac{n(m-2)}{m(n+2)}

das Maximum an.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Beta-Verteilung

Wenn \operatorname{X} \sim F(m, n) und Y=\frac{m X/n}{1+m X/n} ist, dann verteilt sich Y \sim \operatorname{Beta}(m/2,n/2)

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Aus den \chi_m^2 und \chi_n^2 Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit m bzw. n Freiheitsgraden lässt sich

F(m,n)=\frac{\chi_m^2/m}{\chi_n^2/n}

konstruieren. Dieser Ausdruck ist F-verteilt mit m und n Freiheitsgraden.

Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung

Für unabhängige Zufallsvariablen \operatorname{X} \sim \chi^2(\delta, m) und \operatorname{Y} \sim \chi^2(n) ist

Z = \frac{\; \mathrm{X}/m \;}{\mathrm{Y}/n}

verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung \operatorname{Z} \sim F(\delta,m,n) mit nichtzentralitäts-Parameter δ. Dabei ist \chi^2(\delta,\,m) eine Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit nichtzentralitäts-Parameter δ und m Freiheitsgraden. Für δ = 0 ergibt sich die zentrale F-Verteilung F(m,\,n).

Beziehung zur Normalverteilung

Wenn die unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen X_1, X_2, \dots , X_m,Y_1, Y_2, \dots , Y_n die Parameter

\operatorname{E}(X_i)=\mu, \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2
\operatorname{E}(Y_j)=\nu,  \operatorname{Var}(Y_j)=\tau^2

besitzen, sind die jeweiligen Stichprobenvarianzen S_X^2 und S_Y^2 unabhängig, und es gilt:

\frac{S_X^2}{\sigma^2} ist verteilt wie \chi_{m-1}^2/(m-1)

und

\frac{S_Y^2}{\tau^2} ist verteilt wie \chi_{n-1}^2/(n-1).

Deshalb unterliegt die Zufallsvariable

F=\frac{S_X^2/\sigma^2}{S_Y^2/\tau^2}

einer F-Verteilung mit m − 1 Freiheitsgraden im Zähler und n − 1 Freiheitsgraden im Nenner,

Beziehung zur Studentschen t-Verteilung

Wenn \operatorname{X} \sim f_n(t) (Studentsche_t-Verteilung), dann ist \operatorname{X^2} \sim f_{1,n}(F).

Das Quadrat einer t-verteilten Zufallsvariablen mit n Freiheitsgraden folgt einer F-Verteilung mit m=1 und n Freiheitsgraden.

Herleitung der Dichte

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der F-Verteilung lässt sich herleiten (vgl. Herleitung der Dichte der Studentschen t-Verteilung) aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen \chi^2_m und \chi^2_n, die beide Chi-Quadrat-verteilt sind. [2]


g_{\chi^2_m,\chi^2_n}(x,y)= \frac{x^{\frac m2-1}e^{-\frac 12x}}{2^\frac m2\Gamma(\frac m2)} \cdot \frac{y^{\frac n2-1}e^{-\frac 12y}}{2^\frac n2\Gamma(\frac n2)}.

Mit der Transformation


f=\frac{x/m}{y/n},v=y ,

bekommt man die gemeinsame Dichte von F=\frac{\chi^2_m/m}{\chi^2_n/n} und \chi^2_n, wobei 0\leq f \leq \infty und 0\leq v \leq \infty.

Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:

\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(f,v)}=\begin{vmatrix}
     \frac mn v&0\\
     \sim&1
\end{vmatrix}=\frac mn v.

Der Wert ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also


g_{F,\chi^2_n}(f,v)= \frac{1}{2^\frac m2 \Gamma(\frac m2)}\left(f v\, \frac mn\right)^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac 12(f v\, \frac mn)}\cdot \frac{1}{2^\frac n2 \Gamma(\frac n2)}v^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac 12v}\cdot\frac{m}{n}v.

Gesucht ist nun die Randverteilung g_{m,\,n}(f) als Integral über die nicht interessierende Variable v:


g_{m,n}(f)=\int\limits_{0}^\infty g_{F,\chi^2_n}(f,v)\,dv=\frac{(\frac mn)^{\frac m2}f^{\frac m2-1}}{2^\frac {m+n}{2}  \Gamma(\frac m2) \Gamma(\frac n2)} \int\limits_{0}^\infty v^{\frac{m+n}{2}-1}e^{-\frac v2 (1+\frac mn f)}\,dv=m^{\frac m2} n^{\frac n2} \cdot \frac{\Gamma (\frac m2+\frac n2)}{\Gamma (\frac m2) \Gamma (\frac n2)} \cdot \frac{f^{\frac m2-1}}{(mf+n)^\frac{m+n}{2}}.

Quantilfunktionen

Das p-Quantil der F-Verteilung xp ist die Lösung der Gleichung p=F(x_p|m,\,n) und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

x_p=\frac{n I^{-1}(p,\frac m2,\frac n2)}{m(1-I^{-1}(p,\frac m2,\frac n2))},

mit I − 1 als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert xp ist in der F-Verteilungstabelle unter den Koordinaten p, m, und n eingetragen.

Für einige Werte m,n lassen sich die Quantilsfunktionen x_p(m,\,n) explizit ausrechnen. Man löst das Beta Integral I(x,\tfrac m2,\tfrac n2) mit m,n=1,2,\ldots, wobei für ein paar Indizes invertierbare Funktionen auftreten:


\begin{array}{c|c|c|c|c}
 m \downarrow,\,n \rightarrow &  1  & 2 & 3  & 4\\
\hline
 1 &\tan(\frac\pi2 p)^2  & \frac{2p^2}{1-p^2} & ?  & \frac{4}{2\cos(\frac13 \arccos(1-2p^2))-1}-4\\
\hline
 2 & \frac12(\frac{1}{(1-p)^2}-1)  & \frac{p}{1-p} &  \frac32(\frac{1}{(1-p)^{2/3}}-1)  & \frac{2}{\sqrt{1-p}}-2\\
\hline
 3 & ?  & \frac{2p^{2/3}}{3-3p^{2/3}} & ?  & ?\\ 
 \hline
4 & \frac{1}{16}\csc(\frac16\arccos(2p(2-p)-1))^2 -\frac14 & \frac{\sqrt p}{2(1-\sqrt p)} & ?  & \frac{1}{\frac12+\sin(\frac13\arcsin(1-2p))}-1\\
\end{array}

Literatur

  • Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik, 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 156 ff., ISBN 3-486-24984-3.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. P.R. Kinnear, C.D. Gray (2004): SPSS 12 MADE SIMPLE. Psychology Press. New York. S. 208–209.
  2. Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics, Universitetsforlaget, Bergen - Oslo - Tromsö S. 145f

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Verteilung — bezeichnet: einen Stromkreisverteiler, siehe Verteiler (Elektroinstallation) Statistik: die Häufigkeitsverteilung zur empirischen Beschreibung von Daten die Wahrscheinlichkeitsverteilung (zu konkreten Verteilungen siehe Liste univariater… …   Deutsch Wikipedia

  • Verteilung — ↑Dekonzentration, ↑Dispersion, ↑Distribution …   Das große Fremdwörterbuch

  • Verteilung — Verteilung …   Deutsch Wörterbuch

  • Verteilung — Ausbreitung; Streuung; Verbreitung; Zuweisung; Auskehrung; Zuordnung; Ausstreuung; Aushändigung; Ausgabe; Herausgabe; Erteilung; Austeilung …   Universal-Lexikon

  • Verteilung des Einkommens — Die Einkommensverteilung beschreibt die Verteilung der Einkommen auf die Wirtschaftssubjekte. Untersucht werden zum Beispiel: die sektorale Verteilung (Landwirtschaft, Industrie, Dienstleistungen) die regionale oder räumliche Verteilung die… …   Deutsch Wikipedia

  • Verteilung (Elektrotechnik) — Elektroinstallations Verteiler, umgangssprachlich auch Verteilerkasten oder Sicherungskasten genannt, sind verschließbare Kästen, in denen Sicherungs und Schaltelemente zur Verteilung von elektrischem Strom im Gebäude untergebracht sind. Sie… …   Deutsch Wikipedia

  • Verteilung — 1. a) Abgabe, Ausgabe, Aushändigung, Vergabe; (Wirtsch.): Distribution. b) Aufteilung, Einteilung, Zuteilung, Zuweisung. c) Ausbezahlung, Ausschüttung, Umlage, Weitergabe. 2. Auslieferung, Verkauf; (Kaufmannsspr.): Vertreibung, Vertrieb; (österr …   Das Wörterbuch der Synonyme

  • Verteilung — dalijimas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. division vok. Aufteilung, f; Division, f; Teilen, n; Teilung, f; Verteilung, f rus. деление, n pranc. division, f …   Automatikos terminų žodynas

  • Verteilung — paskirstymas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. allocation; allotment; mapping vok. Verteilung, f; Zuordnung, f; Zuteilung, f; Zuweisung, f rus. распределение, n pranc. allocation, f; distribution, f …   Automatikos terminų žodynas

  • Verteilung — pasiskirstymas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. distribution vok. Verteilung, f rus. распределение, n pranc. distribution, f; partage, m; répartition, f …   Automatikos terminų žodynas

  • Verteilung — skirstinys statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. distribution vok. Verteilung, f rus. распределение, n pranc. distribution, f; répartition, f …   Automatikos terminų žodynas

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”