Hankel-Funktion

Die Hankel-Funktionen, benannt nach dem Mathematiker Hermann Hankel, stellen neben den sphärischen Bessel-Funktionen

$j_l(z) = (-z)^l \left(\frac{1}{z}\frac\mathrm{d}{\mathrm{d}z}\right)^l \ \frac{\sin z}{z}$

und den sphärischen Neumann-Funktionen

$n_l(z) = -(-z)^l \left(\frac{1}{z}\frac\mathrm{d}{\mathrm{d}z}\right)^l \ \frac{\cos z}{z}$

ein weiteres Fundamentalsystem zur Lösung der besselschen Differentialgleichung dar. Sie werden auch als besselsche Funktionen dritter Art bezeichnet.

Die Hankel-Funktionen lauten

$h_l^{(\pm)} (z) = j_l(z)\pm i n_l(z) = \mp i (-z)^l \left(\frac{1}{z} \frac\mathrm{d}{\mathrm{d}z}\right)^l \frac{e^{\pm i z}}{z}$.

Sie werden für die Lösung einiger Probleme der theoretischen Physik benötigt, wie etwa die des kugelsymmetrischen Potentialtopfs in der Quantenmechanik. Ihre besondere Bedeutung besteht in diesem Falle im exponentiellen Abfall für große reelle z.

Während Bessel- und (die am Nullpunkt divergenten) Neumann-Funktionen die Beschreibung von Teilchen in klassisch erlaubten Bereichen des kugelsymmetrischen Potentialtopfs ermöglichen, werden Hankel-Funktionen für die Beschreibung von Teilchen im klassisch verbotenen Bereich benötigt. Sie ermöglichen somit die Berechnung des 3D-Tunneleffekts für kugelsymmetrische Probleme im reellen dreidimensionalen Raum.

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2. Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen, 6. Auflage, Springer-Lehrbuch, 2006, ISBN 978-3-540-26035-6
• D. Schoss et al.: Quantum-dot Quantum well CdS/HgS/CdS: Theory and experiment. In: Physical Review B. Vol. 49, Nr. 24, S. 17072 ff. (1994)