Hankel-Transformation

Die Hankel-Transformation ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation, welche im Kern auf den Bessel-Funktionen erster Gattung basiert. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Hermann Hankel. Anwendungen liegen unter anderem im Bereich der Bildverarbeitung zur Korrektur von Abbildungsfehlern.^[1]

Definition

Bei der Hankel-Transformation gibt es unterschiedliche Konventionen sie zu definieren. Sei f eine komplexwertige Funktion und $\nu > - \tfrac{1}{2}$. Dann kann man die Hankel-Transformation $\operatorname{H}_\nu$ der Ordnung ν von f durch

$F_\nu(u) = \operatorname{H}_\nu\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) \cdot J_\nu(ut) \cdot t \,\mathrm{d}t$

definieren, dabei sind die

$J_\nu(x) := \sum_{r=0}^\infty \frac{(-1)^r (\frac{x}{2})^{2r+\nu}}{\Gamma(\nu+r+1)r!}$

Bessel-Funktionen erster Gattung und Γ ist die Gammafunktion. Insofern das Integral existiert, nennt man $\operatorname{H}_\nu\{f(t)\}$ die Hankel-Transformierte von f. Diese Konvention der Hankel-Transformation wird überwiegend in diesem Artikel verwendet. In einzelnen Abschnitten wird jedoch die im Folgenden dargestellte Variante verwendet, worauf in den entsprechenden Abschnitten hingewiesen wird.

Eine andere Möglichkeit die Hankel-Transformation der Ordnung $\nu > -\tfrac{1}{2}$ von f zu definieren, ist

$F_\nu(u) = \operatorname{H}_\nu\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) \cdot \sqrt{ut} \cdot J_\nu(ut) \,\mathrm{d}t\,.$

Hier werden mit J_ν ebenfalls die Bessel-Funktionen erster Gattung bezeichnet und $\operatorname{H}_\nu\{f(t)\}$ heißt auch hier Hankel-Transformierte, insofern das Integral existiert.

Inverse Hankel-Transformation

Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation ist es auch bei der Hankel-Transformation unter gewissen Umständen möglich aus der Hankel-Transformierten ihre Ausgangsfunktion zurückzugewinnen. Ein wichtiges Resultat aus der Theorie der Hankel-Transformation besagt, dass, falls $f \in L^1(]0,\infty[)$ eine lebesgue-integrierbare Funktion mit beschränkter Variation ist, die Ausgangsfunktion f aus der Hankel-Transformierten F_ν mit der inversen Integraltransformation

$f(t) = \operatorname{H}^{-1}_\nu\{F_{\nu}(u)\} = \int_0^\infty F_\nu(u) \cdot J_\nu(ut) \cdot u \, \mathrm{d}u$

zurückgewonnen werden kann. Die Hankel-Transformation und ihre inverse Transformation sind also gleich. Sie kann daher als involutive Abbildung verstanden werden. Für die alternative Definition gilt diese Aussage analog.

Eigenschaften

Orthogonalität

Die Bessel-Funktionen bilden eine Orthogonalbasis: Es gilt

$\int_0^\infty J_\nu(ut) \cdot J_\nu(u't) \cdot t \, \mathrm{d}t = \frac{\delta (u-u')}{u}$

für u und u' größer 0 und mit δ als der Delta-Distribution.

Algebraisierung des besselschen Differentialoperators

Sei

$B_\nu(f) := \left(r^2 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2} + r \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} + (r^2 - \nu^2)\right)(f)$

der besselsche Differentialoperator. Für die Bessel-Funktionen gilt also B_v(J_v) = 0. Mit Hilfe der Hankel-Transformation ist es möglich diesen Differentialoperator in einen Ausdruck ohne Ableitungen zu überführen. Präzise gilt

$\operatorname{H}_\nu(B_\nu(f))(s) = -s^2 \operatorname{H}_\nu(f)(s) \,.$

Dies ist eine zentrale Eigenschaft der Hankel-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen.^[2]

Beziehung zur Fourier-Transformation

Die Hankel-Transformation hat einige Analogien zur Fourier-Transformation. Insbesondere lässt sich die Hankel-Transformierte durch eine zweidimensionale Fourier-Transformation berechnen. Sei dazu $\phi \colon \R^2 \to \C$ eine radialsymmetrische Funktion. Das heißt die Funktion f(r,θ): = ϕ(rcos(θ),rsin(θ)) ist unabhängig von θ, weshalb sie im Folgenden nur mit dem Parameter r notiert wird. Von dieser Funktion f wird nun mit Hilfe der Funktion ϕ und der Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte beschrieben.

Um dies zu sehen, wird das Fourier-Integral

$\mathcal{F}(\phi)(\xi_1,\xi_2) = \frac{1}{2 \pi} \int_{\R^2} \phi(x,y) e^{-i(x \xi_1 + y \xi_2)} \mathrm{d}(x,y)$

von ϕ in Polarkoordinaten transformiert, was zu

$\begin{align} \mathcal{F}(\phi)(s \cos(\sigma),s \sin(\sigma)) =& \frac{1}{2 \pi} \int_{r=0}^\infty r \int_{\theta = 0}^{2\pi} \phi(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) e^{-i s r\cos(\theta - \sigma)} \mathrm{d} \theta \mathrm{d} r\\ =& \frac{1}{2 \pi} \int_{r=0}^\infty r f(r) \int_{\alpha = 0}^{2\pi} e^{-i s r\cos(\alpha )} \mathrm{d} \alpha\mathrm{d} r\\ =& \int_{r=0}^\infty r f(r) J_0(s r) \mathrm{d} r \end{align}$

führt. Dies zeigt, dass eine Fourier-Transformation einer radialsymmetrischen Funktion immer der Hankel-Transformation einer entsprechenden Funktion entspricht. Insbesondere ist es möglich zu einer gegebenen Funktion $f \colon ]0, \infty[ \to \C$ eine entsprechende radialsymmetrische Funktion ϕ zu konstruieren, mit der man durch Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte von f berechnen kann.

Hankel-Transformation für Distributionen

Ebenfalls wie bei der Fourier-Transformation ist es bei der Hankel-Transformation auf analoge Weise möglich sie auf Distributionen zu verallgemeinern. Im Gegensatz zur Fourier-Transformation kann die Hankel-Transformationen nicht auf dem Raum der temperierten Distributionen definiert werden. Daher definiert man einen neuen Raum $H_\nu(]0,\infty[)$ und erklärt die Hankel-Transformation für Distributionen auf seinem Dualraum.

Distributionenraum

Sei $\nu \in \R$, dann ist $H_\nu(]0,\infty[)$ definiert durch

$H_\nu(]0,\infty[) := \left\{\phi \in C^\infty(]0,\infty[)\left|\forall k,m \in \mathbb{N}_0 : \sup_{x \in ]0,\infty[} \left|x^m \left(\tfrac{1}{x} \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\right)^k(x^{-\nu-\frac{1}{2}} \phi(x))\right| < \infty \right.\right\} \,.$

Auf diesem Vektorraum wird zusätzlich eine Topologie in Form eines Konvergenzbegriffs definiert. Eine Folge $(\phi_j) \subset H_\nu(]0,\infty[)$ konvergiert genau dann gegen Null, wenn

$\lim_{j \to \infty} \sup_{x \in ]0,\infty[} \left|x^m \left(\tfrac{1}{x} \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\right)^k(x^{-\nu-\frac{1}{2}} \phi_j(x))\right| = 0$

für alle $k,m \in \N_0$ gilt. Durch Bilden des topologischen Dualraums erhält man den Distributionenraum $H_\nu'(]0,\infty[)$, auf dem man die Hankel-Transformation definieren kann. Beispielsweise sind alle Distributionen mit kompaktem Träger in $]0,\infty[$, wie die Delta-Distribution eine ist, in dem Raum $H_\nu'(]0,\infty[)$ enthalten.

Hankel-Transformation

Für $T \in H_\nu'(]0,\infty[)$ ist die Hankel-Transformation für alle $\phi \in H_\nu(]0,\infty[)$ definiert durch

$\operatorname{H}_\nu(T)(\phi) := T(\operatorname{H}_\nu(\phi))\,.$

Der Ausdruck $\operatorname{H}_\nu(\phi)$ ist wieder eine Hankel-Transformation einer Funktion und daher definiert. Aufgrund der Konstruktion des Raums $H_\nu(]0,\infty[)$ wird hier allerdings die Konvention $\textstyle \operatorname{H}_\nu(\phi) = \int_0^\infty f(t) \sqrt{ut} J_\nu(ut) \,\mathrm{d}t$ für die Transformation verwendet.

Wie bei der Fourier-Transformation für Distributionen führt man auch die Hankel-Transformation nicht auf der Distribution selbst aus, sondern sie wird auf der Testfunktion ϕ berechnet.

Beispiele

Signal $f(t)\,$	Hankel-Transformierte $F_0(u) := \operatorname{H}_0(f)(u)\,$
$1\,$	$\delta(u)/u\,$, gültig für $u \neq 0$
$1/t\,$	$1/u\,$
$t\,$	$-1/u^3\,$
$t^3\,$	$9/u^5\,$
$t^{m}\,$	$\frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{u^{m+2}\Gamma(-m/2)}\,$, gültig für ungerades m
$\frac{1}{\sqrt{t^2+z^2}}\,$	$\frac{e^{-u|z|}}{u}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi u}}K_{-1/2}(u|z|)\,$
$\frac{1}{t^2+z^2}\,$	$K_0(uz)\,$, $z \in \C$
$e^{\mathrm{i}at}/t\,$	$\mathrm{i}/\sqrt{ a^2 - u^2} \quad (a>0, u<a) \,$ $1/\sqrt{ u^2 - a^2} \quad (a>0, u>a) \,$
$e^{-a^2t^2/2}\,$	$\frac{e^{-u^2/2a^2}}{a^2}$
$-t^2 f(t)\,$	$\frac{d^2 F_\nu}{du^2}+\frac{1}{u}\frac{d F_\nu}{du}$

In diesem Abschnitt wird mit K_n(z) die Bessel-Funktionen zweiter Gattung n-ter Ordnung, mit Γ die Gammafunktion, mit i die imaginäre Einheit und mit δ wieder die Delta-Distribution bezeichnet. In der Tabelle auf der rechten Seite werden noch zusätzlich einige Paare von Hankel-Transformationen gelistet.^[3]

Die Hyperbel 1/t

Für die Hankel-Transformierte nullter Ordnung von $\tfrac{1}{t}$ gilt

$\begin{align} \operatorname{H}_0\left( \frac{1}{t} \right)(s) =& \int_{0}^\infty t \cdot \frac{1}{t} \cdot J_0(st) \mathrm{d} t\\ =& \int_{0}^\infty J_0(st) \mathrm{d} t\\ =& \frac{1}{s}\,. \end{align}$

Die Funktion $\tfrac{1}{t}$ ist also ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.

Die Gaußsche Glockenkurve

In diesem Abschnitt wird die Berechnung der Hankel-Transformation von der gaußschen Glockenkurve $e^{-\frac{x^2}{2}}$ mit Hilfe der Fourier-Transformation skizziert. Da die Funktion analytisch ist, kann sie auf $\C \cong \R^2$ fortgesetzt werden und ist dort sogar radialsymmetrisch. Daher kann die Hankel-Transformierte mit der Fourier-Transformation über $\R^2$ berechnet werden. Für die Fourier-Transformation ist $e^{-\frac{x^2}{2}}$ ein Fixpunkt, woraus folgt, dass Hankel-Transformierte von $e^{-\frac{x^2}{2}}$ ebenfalls wieder $e^{-\frac{x^2}{2}}$ ist. Also ist die gaußsche Glockenkurve ebenfalls ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.^[2]

Die Delta-Distribution

In diesem Beispiel wird die Hankel-Transformation nullter Ordnung der Delta-Distribution δ berechnet. Es gilt

$\begin{align} \operatorname{H}_0(\tfrac{1}{u} \delta_0)(\phi) =& \operatorname{H}_0(\delta_0)(\tfrac{1}{u} \phi) = \delta_0(\operatorname{H}_0(\tfrac{1}{u} \phi)) = \operatorname{H}_0(\tfrac{1}{u} \phi)(0)\\ =& \int_{0}^\infty \tfrac{u}{u} J_0(0) \phi(u) \mathrm{d} u\\ =& \int_0^\infty \phi(u) \mathrm{d} u\,. \end{align}$

Der Ausdruck $\textstyle \int_0^\infty \phi(u) \mathrm{d} u$ ist als Distribution, die von der konstanten Einsfunktion erzeugt wird, zu verstehen. Im Bereich der Physik notiert man die Delta-Distribution oftmals unpräzise als reellwertige Funktion und nicht als Funktional. In diesem Fall kürzt sich die Berechnung der Hankel-Transformation auf

$\operatorname{H}_0(\tfrac{1}{u} \delta_0)(t) = \int_0^\infty \delta(u) \cdot \frac{1}{u} \cdot u \cdot J_0(tu) \mathrm{d} u = J_0(0) = 1\,.$

Möchte man umgekehrt die Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion berechnen, stößt man beim Einsetzen in die Integraldarstellung auf ein divergentes Integral. Aufgrund von Dichtheitsargumenten ist es trotzdem möglich die Delta-Distribution als Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion aufzufassen.

Quellen

• Larry C. Andrews, Bhimsen K. Shivamoggi: Integral Transforms for Engineers. SPIE Press, University of Central Florida, 1999, ISBN 978-0-81943232-2, Kapitel 7.

• Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0849385957, Kapitel 9.

• L. S. Dube, J. N. Pandey: On the Hankel transform of distributions Tohoku Math. J. (2) Volume 27, Number 3 (1975), 337-354.

Einzelnachweise

1. ↑ Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage. Springer, ISBN 978-3-540-24999-3, S. 219 bis 223.
2. ↑ ^{a b} Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0849385957, Kapitel 9.4.
3. ↑ Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0849385957, Kapitel 9.11.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hankel Transform. In: MathWorld. (englisch)