Allquantifizierung

Als Allabschluss bezeichnet man eine syntaktische Operation in der Prädikatenlogik, durch welche für alle sogenannten freien Variablen einer Formel F eine Allquantifizierung, d. h. eine Quantifizierung mittels des Allquantors ∀ vorgenommen wird. Formal:

Der Allabschluss ∀(F) einer Formel F lautet
(1) F, falls F geschlossen ist (d. h. nicht über freie Variablen verfügt)
(2) ∀x1...xn F falls x1,...,xn freie Variablen in F sind.

Der Allabschluss kann auch für Formelmengen definiert werden:

Sei S eine Menge von Formeln. Dann ist der Allabschluss ∀S ist die Menge ∀S := {∀(F) | F∈S}.

Die zum Allabschluss analoge Operation mit dem Existenzquantor ∃ heißt Existenzabschluss.

Äquivalenz und Allgemeingültigkeit des Allabschlusses

Der Allabschluss ist im allgemeinen nicht logisch äquivalent zur Ursprungsformel, d. h.

F $\equiv$ ∀(F) gilt nicht für alle F.

Er bewahrt jedoch die Allgemeingültigkeit einer Formel, d. h.

Wenn F allgemeingültig, dann ist auch ∀(F) allgemeingültig.