Holomorphe Halbgruppe

Eine analytische Halbgruppe, manchmal auch holomorphe Halbgruppe genannt, ist eine Familie $\left(T(z)\right)_{z\in \Sigma_\delta}$ von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum X in sich, wobei $\Sigma_\delta:= \{\lambda\in\C\setminus\{0\}: |\operatorname{arg}\lambda|<\delta\} \cup \{0\}$ ein komplexwertiger Sektor und $\delta\in(0,\pi/2]$ ein Winkel ist. Analytische Halbgruppen sind eine Spezialform der stark stetigen Halbgruppen und werden in der Analysis benutzt, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen partieller Differentialgleichungen wie etwa den Navier-Stokes-Gleichungen zu beweisen.

Definition

Eine Familie $T=\left(T(z)\right)_{z\in \Sigma_\delta}\subset \mathcal L(X)$ wird analytische Halbgruppe genannt, falls für einen Winkel $\delta\in(0,\pi/2]$ Folgendes gilt:

• T(0) = I.
• T(z₁ + z₂) = T(z₁)T(z₂) für alle $z_1,z_2\in \Sigma_\delta$.
• die Abbildung $z\mapsto T(z)$ ist auf Σ_δ analytisch.
• die Abbildung $z\mapsto T(z)$ ist auf $\Sigma_{\delta'}\cup\{0\}$ für $\delta'\in(0,\delta)$ stark stetig.

Falls zusätzlich $\|T(z)\|$ für jedes $\delta'\in(0,\delta)$ in Σ_δ' beschränkt ist, wird $\left(T(z)\right)_{z\in \Sigma_\delta}$ beschränkte analytische Halbgruppe genannt (aber: eine beschränkte stark stetige Halbgruppe, die analytisch ist, ist im Allgemeinen keine beschränkte analytische Halbgruppe).

Infinitesimaler Erzeuger

Analog zu stark stetigen Halbgruppen betrachtet man den Operator A mit

$Ax:=\lim_{\Sigma_\delta\ni z\rightarrow 0}\frac{T(z)x-x}z$

und

$D(A):=\{x\in X: \lim_{\Sigma_\delta\ni z\rightarrow 0}\frac{T(z)x-x}z \ \mathrm{existiert} \}$.

Der Operator wird (infinitesimaler) Erzeuger oder Generator genannt und ist dicht definiert und abgeschlossen.

Eigenschaften

Das Spektrum eines Erzeugers A

• Erzeugt A eine analytische Halbgruppe T, dann
  • existieren $M\geq 1$ und $\omega\geq 0$ mit $\|T(z)\|\leq Me^{\omega\mathrm{Re}\,z}$ für alle $z\in\Sigma_\delta$. Ist die Halbgruppe beschränkt, kann ω = 0 gewählt werden.
  • existiert ein ω > 0, so dass A + ω eine beschränkte analytische Halbgruppe erzeugt.
  • gilt $T(t)X\subset D(A)$ für alle t > 0.
  • stimmt die inverse Laplace-Transformation der Resolvente mit der Halbgruppe überein, also $T(t)=\frac1{2\pi i}\int_\gamma e^{\lambda t} R(\lambda,A)\mathrm{d}\lambda$ für $t\geq 0$ und einem geeigneten Weg γ in $\C$.
• Erzeugt A eine beschränkte analytische Halbgruppe T, dann enthält die Resolventenmenge ρ(A) den Sektor Σ_{π / 2 + δ'} für alle $\delta'\in(0,\delta)$.
• A erzeugt genau dann eine beschränkte analytische Halbgruppe, wenn A eine stark stetige Halbgruppe T erzeugt mit $\operatorname{rg}(T(t))\subset D(A)$ für alle t > 0 und $\sup_{t>0} \|tAT(t)\|<\infty$ (reelle Charakterisierung).

Beispiele

• Ist A ein normaler Operator (wie z.B. ein selbstadjungierter Operator), so erzeugt A eine beschränkte analytische Halbgruppe.
• Erzeugt A eine stark stetige Halbgruppe, so ist A² der Erzeuger einer analytischen Halbgruppte mit Winkel π / 2.
• Ist $\Omega\subset\R^n$ ein Gebiet mit glattem Rand, so erzeugt der Laplace-Operator mit Dirichlet-Randbedingung, d.h. $D(\Delta):=W^{2,p}(\Omega)\cap W^{1,p}_0(\Omega)$, eine beschränkte analytische Halbgruppe.

Das Cauchy-Problem

Erzeugt A eine beschränkte analytische Halbgruppe, so wird das abstrakte Cauchy-Problem

$\left\{\begin{array}{lll} u'(t)&=&A(u(t)) + f(t) \ \mathrm{f\ddot{u}r\ alle}\ t>0\\ u(0)&=&u_0 \end{array}\right.$

für den Anfangswert $u_0 \in X$ und einer Hölder-stetigen Funktion $f\in C^\alpha([0, \infty); X)$ durch die Funktion

$u(t) := T(t)u_0 + \int_0^t T(t-s)f(s){\rm d}s$

gelöst.

Literatur

• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Graduate Texts in Mathematics, 194. Springer-Verlag, New York, 2000. ISBN 0-387-98463-1.
• Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. 2. Auflage. Springer-Verlag 1995, ISBN 354058661X.
• Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-90845-5.