- Analytische Halbgruppe
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Eine analytische Halbgruppe, manchmal auch holomorphe Halbgruppe genannt, ist eine Familie
von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum X in sich, wobei
ein komplexwertiger Sektor und
ein Winkel ist. Analytische Halbgruppen sind eine Spezialform der stark stetigen Halbgruppen und werden in der Analysis benutzt, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen partieller Differentialgleichungen wie etwa den Navier-Stokes-Gleichungen zu beweisen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Eine Familie
wird analytische Halbgruppe genannt, falls für einen Winkel
Folgendes gilt:
- T(0) = I.
- T(z1 + z2) = T(z1)T(z2) für alle
.
- die Abbildung
ist auf Σδ analytisch.
- die Abbildung
ist auf
für
stark stetig.
Falls zusätzlich
für jedes
in Σδ' beschränkt ist, wird
beschränkte analytische Halbgruppe genannt (aber: eine beschränkte stark stetige Halbgruppe, die analytisch ist, ist im Allgemeinen keine beschränkte analytische Halbgruppe).
Infinitesimaler Erzeuger
Analog zu stark stetigen Halbgruppen betrachtet man den Operator A mit
und
.
Der Operator wird (infinitesimaler) Erzeuger oder Generator genannt und ist dicht definiert und abgeschlossen.
Eigenschaften
- Erzeugt A eine analytische Halbgruppe T, dann
- existieren
und
mit
für alle
. Ist die Halbgruppe beschränkt, kann ω = 0 gewählt werden.
- existiert ein ω > 0, so dass A + ω eine beschränkte analytische Halbgruppe erzeugt.
- gilt
für alle t > 0.
- stimmt die inverse Laplace-Transformation der Resolvente mit der Halbgruppe überein, also
für
und einem geeigneten Weg γ in
.
- existieren
- Erzeugt A eine beschränkte analytische Halbgruppe T, dann enthält die Resolventenmenge ρ(A) den Sektor Σπ / 2 + δ' für alle
.
- A erzeugt genau dann eine beschränkte analytische Halbgruppe, wenn A eine stark stetige Halbgruppe T erzeugt mit
für alle t > 0 und
0} \|tAT(t)\|<\infty" border="0"> (reelle Charakterisierung).
Beispiele
- Ist A ein normaler Operator (wie z.B. ein selbstadjungierter Operator), so erzeugt A eine beschränkte analytische Halbgruppe.
- Erzeugt A eine stark stetige Halbgruppe, so ist A2 der Erzeuger einer analytischen Halbgruppte mit Winkel π / 2.
- Ist
ein Gebiet mit glattem Rand, so erzeugt der Laplace-Operator mit Dirichlet-Randbedingung, d.h.
, eine beschränkte analytische Halbgruppe.
Das Cauchy-Problem
Erzeugt A eine beschränkte analytische Halbgruppe, so wird das abstrakte Cauchy-Problem
0\\ u(0)&=&u_0 \end{array}\right." border="0">
für den Anfangswert
und einer Hölder-stetigen Funktion
durch die Funktion
gelöst.
Literatur
- Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York NY 2000, ISBN 0-387-98463-1 (Graduate Texts in Mathematics 194).
- Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Corrected printing of the 2nd edition. Springer, Berlin 1980, ISBN 0-387-07558-5 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 132), (Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58661-X (Classics in mathematics)).
- Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44).
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