Hydraulischer Durchmesser

Der hydraulische Durchmesser d_h ist eine einfache rechnerische Näherung, um Berechnungen an Rohren oder Kanälen mit nicht kreisförmigem Querschnitt durchzuführen. Er entspricht dem Durchmesser eines vollständig gefüllten runden Rohres, in dem sich bei gleicher mittlerer Strömungsgeschwindigkeit und gleicher Länge das gleiche Druckgefälle einstellen würde. Der Volumenstrom ergibt sich aus dem Produkt der Querschnittsfläche des betrachteten nicht kreisförmigen Rohrs oder Kanals mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit.
Der hydraulische Durchmesser leitet sich aus dem Verhältnis der durchströmten Fläche A (relevant für den Durchfluss) zu dem vom Fluid benetzten Umfang U (relevant für die Reibung an der Wand) des Querschnitts ab:

$d_h = \frac{4A}{U}$.

Für die Strömung in einem Spalt mit der Breite s zwischen zwei konzentrischen Rohren mit den Durchmessern D bzw. d ergibt sich demzufolge:

d_h = D − d = 2s

Der hydraulische Durchmesser wird unter anderem zur Berechnung von Druckverlusten bei nicht kreisrunden Querschnitten verwendet. Ein weiteres Anwendungsgebiet liegt in der Emissionsmesstechnik, um die Güte der Anströmung eines Messquerschnitts zu beurteilen. Im allgemeinen sind die Strömungsverhältnisse ausreichend gut, wenn die Einlaufstrecke in geraden Strömungskanälen mindestens 5 hydraulische Durchmesser und die ungestörte Auslaufstrecke 2 hydraulische Durchmesser nach dem Messquerschnitt beträgt.

Grenzen der Anwendbarkeit

Für die meisten in der Praxis vorhandenen Fälle lassen sich mit Hilfe des hydraulischen Durchmessers die tatsächlich herrschenden Strömungsverhältnisse mit brauchbarer Genauigkeit ermitteln. Es können sich allerdings relevante Abweichungen ergeben, wenn die Form des Querschnitts stark irregulär ist oder der Querschnitt sehr klein ist, so dass dort laminare Strömung herrscht. Dazu seien hier zwei Beispiele genannt:

• Form des betrachteten Querschnitts:

Für einen Querschnitt, der sich aus einem Kreis (Durchmesser d) und einem langen engen Spalt (Spaltbreite b) zusammensetzt ("Kreis mit schmalem Fortsatz") ergibt sich:

$d_h \approx \frac{\pi d^2}{\pi d+2b}$

Damit wäre d_h < d, woraus man einen höheren Druckverlust als im runden Rohr ermitteln würde. Tatsächlich hat der Spalt, sofern er eng genug ist, keinerlei Auswirkung auf den Druckverlust.

• Laminare Strömung:

Für einen niedrigen breiten Spalt (Spaltbreite b, Spalthöhe h, $b\gg h$) ergibt sich:

$d_h = \frac{4bh}{2b+2h} \approx 2h$

Der Druckverlust in einem runden Rohr bei laminarer Strömung und mittlerer Geschwindigkeit $\bar{v}$ ist mit dem Gesetz von Hagen-Poiseuille

$\Delta p_{Kreisrohr} = \frac{32\eta l \bar{v}}{d^2}$

Damit wäre der Druckverlust im Spalt

$\Delta p_{Spalt,dh} = \frac{8\eta l \bar{v}}{h^2}$.

Für den niedrigen breiten Spalt lässt sich nach Hagen-Poiseuille auch direkt eine exakte Lösung angeben. Diese lautet

$\Delta p_{Spalt,exakt} = \frac{12\eta l \bar{v}}{h^2}$.

Die Berechnung unter Zuhilfenahme von d_h liefert in diesem Fall also einen um 33% zu geringen Druckverlust.

Hydraulischer Radius

Der hydraulische Radius r_h ist der Quotient aus dem Strömungsquerschnitt A (bzw. S) und dem benetzten Umfang U (bzw. O):

$r_h = \frac{A}{U} = \frac{d_h}{4}$

Besonders im Fall offener Gerinne ist r_h bequemer anwendbar als d_h.

Beispiele für den hydraulischen Radius

	Rechteck	Trapez	Dreieck	Kreis	Parabel
Breite, B	b	$b+2 \cdot mh$	$2 \cdot mh$	$(\sin \frac{\theta}{2})\cdot{}D$ oder $2 \sqrt{h\cdot{}(D-h)}$	$\frac{3}{2}\frac{S}{h}$
Oberfläche, S	$b \cdot h$	$(b + mh)\cdot{} h$	$m \cdot h^2$	$\frac {1}{8}(\theta - \sin{\theta}) \cdot{} D^2$	$\frac{2}{3}Bh$
benetzter Umfang P	b + 2h	$b + 2 \cdot{} h \cdot{} \sqrt{1+m^2}$	$2h \cdot{} \sqrt{1+m^2}$	$\frac {1}{2} \theta \cdot{} D$	$B+\frac {8}{3} \frac{h^2}{B}$[1]
Hydraulischer Radius, rh	$\frac {bh}{b + 2h}$	$\frac {(b + mh)\cdot{}h}{ b + 2h\cdot{} \sqrt{1+m^2}}$	$\frac{mh}{2\cdot{}\sqrt{1+m^2}}$	$\frac{1}{4}\left[ 1-\frac{\sin \theta}{\theta} \right]D$	$\frac {2B^2h}{3B^2+8h^2}$[1]
Mittlere Wassertiefe	h	$\frac{(b+mh)h}{b+2 \cdot mh}$	$\frac{1}{2}h$	$\left[\frac{\theta-\sin\theta}{\sin\frac{\theta}{2}} \right]\frac{D}{8}$	$\frac {2}{3}h$

1. ↑ ^{a b} gültig für 0 < ξ < 1, mit $\scriptstyle\xi=\frac{4h}{b}$. Si $\scriptstyle\xi>1:P=\left(\frac{B}{2}\right)\left[ \sqrt{1+\xi^2}+\frac{1}{\xi}ln\left(\xi+\sqrt{1+\xi^2}\right) \right]$