Inklusionskette

Euler-Diagramm: A ist eine (echte) Teilmenge von B

Der mathematische Begriff Teilmenge (oder auch Untermenge) bedeutet eine Beziehung zwischen Mengen.

A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B enthalten ist. Man nennt B dann eine Obermenge von A. Sind A und B zudem verschieden (d. h. enthält B Elemente, die nicht in A enthalten sind), ist A eine echte Teilmenge von B.

Die Teilmengenbeziehung wird auch als Inklusion bezeichnet.

Die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge A heißt die Potenzmenge von A.

Notationen

$A \subseteq B$ (A ist Teilmenge von B), eine Variante des Symbols ist $\subseteqq$

$A \subset B$ (A ist echte Teilmenge von B)

$B \supseteq A$ (B ist Obermenge von A)

$B \supset A$ (B ist echte Obermenge von A)

Diese Notation betont die Analogie zu den Schreibweisen x ≤ y und x < y. Daneben ist aber auch die folgende weit verbreitet:

$\ \subset$ steht für „Teilmenge“,

$\subsetneq$ für „echte Teilmenge“, Varianten des Symbols sind $\varsubsetneq\subsetneqq\varsubsetneqq$ .

Von letztgenanntem Symbol ist die zur anderen Konvention gehörige Verneinung $A\nsubseteq B$ („ $A$ ist keine Teilmenge von $B$ “) zu unterscheiden.

In der Situation $A\subseteq B$ sagt man auch oft: „A ist in B enthalten“ oder „B enthält A“. Diese Sprechweisen sind mit Vorsicht zu verwenden, da sie mit der Element-Relation $\in$ verwechselt werden können.

Definition

$A \subseteq B :\Longleftrightarrow \forall x \in A : x \in B$

$A \subset B :\Longleftrightarrow A \subseteq B \and A \neq B$

Beispiele

{1, 2} ist eine Teilmenge von {1, 2, 3}.
{1, 2, 3} ist eine Teilmenge von {1, 2, 3}.
{1, 2, 3, 4} ist keine Teilmenge von {1, 2, 3}.
{1, 2, 3} ist keine Teilmenge von {2, 3, 4}.
{} ist eine Teilmenge von {1, 2}.

{1, 2} ist eine echte Teilmenge von {1, 2, 3}.
{1, 2, 3} ist keine echte Teilmenge von {1, 2, 3}.

{1, 2, 3} ist eine Obermenge von {1, 2}.
{1, 2} ist eine Obermenge von {1, 2}.
{1} ist keine Obermenge von {1, 2}.

{1, 2, 3} ist eine echte Obermenge von {1, 2}.
{1, 2, 3} ist keine echte Obermenge von {1, 2, 3}.

Die Menge der Primzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen.

Eigenschaften

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:

$\varnothing \subseteq A$
Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst:

$A \subseteq A$
Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der Vereinigung:

$A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B$
Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe des Durchschnitts:

$A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A$
Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der Differenzmenge:

$A \subseteq B \Leftrightarrow A \setminus B = \varnothing$
Charakterisierung der Inklusion mit Hilfe der charakteristischen Funktion:

$A \subseteq B \Leftrightarrow \chi_A \le \chi_B$
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist:

$A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \and B \subseteq A$

Diese Regel wird oft beim Nachweis der Gleichheit zweier Mengen verwendet, indem man die gegenseitige Inklusion (in zwei Arbeitsschritten) zeigt.
Beim Übergang zum Komplement dreht sich die Richtung der Inklusion um:

$A \subseteq B \Rightarrow A^{\rm c} \supseteq B^{\rm c}$
Bei der Bildung der Schnittmenge erhält man stets eine Teilmenge:

$A \cap B \subseteq A$
Bei der Bildung der Vereinigungsmenge erhält man stets eine Obermenge:

$A \cup B \supseteq A$

Die Inklusion als Ordnungsrelation

Die Inklusion als Beziehung zwischen Mengen erfüllt die drei Eigenschaften einer partiellen Ordnungsrelation, sie ist nämlich reflexiv, antisymmetrisch und transitiv:

$A \subseteq A$

$A \subseteq B \subseteq A \Rightarrow A = B$

$A \subseteq B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$

(Dabei ist $A\subseteq B\subseteq C$ eine Kurzschreibweise für „ $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ “.)

Ist also $M$ eine Menge von Mengen (ein Mengensystem), dann ist $(M, \subseteq)$ eine Halbordnung. Insbesondere gilt dies für die Potenzmenge $\mathcal P(X)$ einer gegebenen Menge $X$ .