Inklusionsabbildung

Inklusionsabbildung

Unter einer Inklusionsabbildung (kurz auch Inklusion genannt) versteht man die mathematische Funktion, die eine Teilmenge in ihre Grundmenge einbettet.

Für Mengen A und B mit AB ist die Inklusionsabbildung i : AB also gegeben durch i(x) := x.

Manchmal wird das spezielle Pfeilsymbol \hookrightarrow zur Kennzeichnung benutzt, man schreibt dann
i : A \hookrightarrow B.

Eigenschaften

  • Jede Inklusionsabbildung ist injektiv.
  • Eine beliebige Funktion f : AB lässt sich bezüglich der Verkettung von Funktionen zerlegen als f = h o g, wobei g surjektiv und h injektiv ist: Sei C := im fB die Bildmenge von f und g : AC die Funktion, die auf A mit f übereinstimmt, also g(x) := f(x). Für h : CB nimmt man die Inklusionsabbildung.
  • Ist f : AB eine beliebige Funktion und X eine Teilmenge der Definitionsmenge A, dann versteht man unter der Einschränkung f |X von f auf X diejenige Funktion g : XB, die auf X mit f übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusion i : XA lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als
f|_{X} := f \circ i.
  • Umgekehrt lässt sich jede Inklusionsabbildung als Einschränkung einer geeigneten identischen Abbildung auffassen.

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