Integralvergleichskriterium

Das Integralkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zum Entscheiden, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert.

Formulierung

Es sei f(x) eine monoton fallende Funktion, die auf dem Intervall $[p,\infty)$ mit einer ganzen Zahl p definiert ist und nur positive Werte annimmt.

Die Reihe $\sum_{n=p}^\infty f(n)$ konvergiert genau dann, wenn das Integral $\int_p^\infty f(x) \mathrm dx$ existiert, d. h. einen endlichen Wert annimmt.

Genauer: Sei $p \in \mathbb{Z}, f: [p, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ monoton fallend, dann gilt

$f\,$ auf $\,[p, \infty)\,$ integrierbar $\,\Leftrightarrow \sum_{n=p}^\infty f(n) \ \mathrm{konvergent}$

sowie, falls das zutrifft (also das Integral existiert bzw. die Reihe konvergiert),

$\sum_{n=p+1}^\infty f(n) \leq \int_p^\infty f(x) \mathrm dx \leq \sum_{n=p}^\infty f(n).$

Veranschaulichung

Das Integralkriterium ist schon durch die Anschauung zugänglich: Gerade die letzte Zeile ähnelt einer populären Begründung des Begriffs des Riemann-Integrals mithilfe von Ober- und Untersummen.

Weil nach Voraussetzung ja f monoton fällt, ist auf jedem Intervall [q,q + 1] (mit einer ganzen Zahl q) f(q) der größte und f(q + 1) der kleinste Funktionswert auf diesem Intervall. Weil das Intervall die Breite 1 hat, ist der Flächeninhalt unter f immer kleiner als $f(q) \cdot 1$ und größer als $f(q+1) \cdot 1$. Wenn nun das Integral oder die Reihe konvergiert, so muss auch der jeweils andere Ausdruck konvergieren.

Oder: Die Reihe $\sum_{n=p}^\infty f(n)$ konvergiert, nähert sich also ab p unendlich nahe an den Grenzwert an. Für das Integral bedeutet dies, dass die Fläche nicht mehr größer wird, sondern sich ebenfalls an einen (Flächen)-Wert annähert. Hätte die Fläche gegen unendlich keinen Grenzwert könnte nie ein Wert für das Integral $\int_p^\infty f(x) \mathrm dx$ fest gemacht werden und somit das Integral keinen endlichen Wert annehmen, was im Widerspruch zur obigen Definition steht.