Integralkriterium

Das Integralkriterium (auch Integralvergleichskriterium) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zum Entscheiden, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert.

Formulierung

Es sei f eine monoton fallende Funktion, die auf dem Intervall $[p,\infty)$ mit einer ganzen Zahl p definiert ist und nur positive Werte annimmt. Dann konvergiert die Reihe $\textstyle \sum_{n=p}^\infty f(n)$ genau dann, wenn das Integral $\textstyle \int_p^\infty f(x) \,\mathrm dx$ existiert, das heißt, wenn es einen endlichen Wert annimmt.

Genauer: Sei $p \in \Z, f: [p, \infty) \to [0, \infty)$ monoton fallend, dann gilt

f ist auf $[p, \infty)$ integrierbar $\iff \sum_{n=p}^\infty f(n)$ ist konvergent.

Falls eines von beiden, also Existenz des Integrals beziehungsweise Konvergenz der Reihe, und damit auch das andere, zutrifft, gelten die Abschätzungen

$\sum_{n=p+1}^\infty f(n) \leq \int_p^\infty f(x) \,\mathrm dx \leq \sum_{n=p}^\infty f(n).$

Veranschaulichung

Das Integralkriterium ist schon durch die Anschauung zugänglich: Gerade die letzte Zeile ähnelt einer populären Begründung des Begriffs des Riemann-Integrals mithilfe von Ober- und Untersummen.

Weil nach Voraussetzung ja f monoton fällt, ist auf jedem Intervall [q,q + 1] (mit einer ganzen Zahl q) f(q) der größte und f(q + 1) der kleinste Funktionswert auf diesem Intervall. Weil das Intervall die Breite 1 hat, ist der Flächeninhalt unter f immer kleiner oder gleich $f(q) \cdot 1$ und größer oder gleich $f(q+1) \cdot 1$. Wenn nun das Integral oder die Reihe konvergiert, so muss auch der jeweils andere Ausdruck konvergieren.

Oder: Die Reihe $\textstyle \sum_{n=p}^\infty f(n)$ konvergiert, nähert sich also ab p unendlich nahe an den Grenzwert an. Für das Integral bedeutet dies, dass die Fläche nicht mehr größer wird, sondern sich ebenfalls an einen (Flächen)-Wert annähert. Hätte die Fläche gegen unendlich keinen Grenzwert, könnte nie ein Wert für das Integral $\textstyle \int_p^\infty f(x) \mathrm dx$ fest gemacht werden und somit das Integral keinen endlichen Wert annehmen, was im Widerspruch zur obigen Definition steht.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4