Inverser Kongruenzgenerator

Ein inverser Kongruenzgenerator ist ein arithmetischer Zufallszahlengenerator, der durch den Satz von Marsaglia bekannte Nachteile linearer Kongruenzgeneratoren vermeidet. Insbesondere lässt er keine Hyperebenen entstehen. Verwendet man Zufallszahlen inverser Kongruenzgeneratoren für die Box-Muller-Methode, so wird ein Spiralverhalten vermieden. Im Gegenzug verlangt er einen höheren Rechenaufwand.

Allgemeines

Er besteht aus folgenden Komponenten:

• Modul $p \in \mathbb{P}$ ($\mathbb{P}$ steht hierbei wie üblich für die Menge der Primzahlen)
• Faktor $a \in \{0, ... , p-1\}$
• Inkrement $b \in \{0, ... , p-1\}$
• Startwert $y_0 \in \{0, ... , p-1\}$

Der Generator arbeitet nach folgendem Bildungsgesetz:

$y_{n+1} = (a y_n^{-1} + b) \, \bmod \, p = ( a y_n^{p-2} + b ) \, \bmod \, p$

Zur Erklärung der Symbolik siehe den Artikel Modulo.

Wegen $p\in\mathbb{P}$ gibt es zu jedem $y_n \ne 0$ ein eindeutiges multiplikativ inverses Element $y_n^{-1}$, so dass $y_n \, y_n^{-1} \equiv 1$. Nur für y_n = 0 muss man sich noch Gedanken machen. Rein formal wäre $\infty$ das inverse Element von 0. Da $\infty$ nicht darstellbar ist, wird es am besten übersprungen, indem man 0 ^{− 1} = 0 setzt, wie es auch der zweiten Darstellung (mit $y_n^{p-2}$) entspricht.

Periodenlänge

Die maximale Periodenlänge kann offenbar p nicht überschreiten. Erreicht wird diese genau dann, wenn das Polynom

x² − bx − a

ein primitives Polynom in $\mathbb{Z}_p$ ist.

Hyperebenenverhalten

Im Gegensatz zu linearen Kongruenzgeneratoren, deren Werte ja auf wenigen Hyperebenen liegen, kann man hier zeigen, dass gilt:

Jede Hyperebene in $\mathbb{Z}_p^k$ enthält maximal k Punkte der Form

$(x_1,\dots,x_k), (x_2,\dots,x_{k+1}),\dots$

solange $x_l\cdots x_{l+k-2} \ne 0$ gilt. Durch diese Bedingung scheiden genau k − 1 Punkte aus. Dabei ist $k\geq 2$ beliebig wählbar.

Inverse Generatoren mit zusammengesetztem Modul

Um die Modulodivision durch das Abschneiden der höchstwertigen Bits ersetzen zu können, wäre es angenehm, Moduln m für die Berechnungsvorschrift

$y_{n+1} = ( a y_n^{p-2} + b ) \, \bmod \, m$

zuzulassen, die keine Primzahl, sondern eine Potenz von 2 sind. Dazu muss y₀ ungerade sein, und a,b müssen so festgelegt werden, dass alle y_n ungerade sind, denn dann kann das inverse Element zu y_n eindeutig berechnet werden. Die Periodenlänge beträgt höchstens m / 2. Falls folgende Bedingungen erfüllt sind, beträgt sie genau m / 2:

• $m=2^e \; \; \mbox{mit} \; \; e\geq 3$
• $a \equiv 1 \; (\bmod 4)$
• $b \equiv 2 \; (\bmod 4)$

Explizite inverse Generatoren

Manchmal liest man auch die Definition

$y_{n+1} = (a n + b)^{-1} \mod p = ( a n + b )^{p-2}\, \bmod\, p$

oder auch

$y_{n+1} = (a (n+y_0) + b)^{-1} \mod p = ( a (n+y_0) + b )^{p-2}\, \bmod\, p$

Letzteres stellt keine Verallgemeinerung dar; man erhält durch Ausmultiplizieren sofort die obige Gestalt.

Periodenlänge

Die maximale Periodenlänge beträgt wieder p, und wird erreicht, falls $a\ne 0$ gilt.

Literatur

• Harald Niederreiter: Random Number Generation and Quasi-Monte Carlo Methods. Society for Industrial & Applied Mathematics, Philadelphia PA 1992, ISBN 0-89871-295-5 (Regional Conference Series in Applied Mathematics 63).

Arithmetische Zufallszahlengeneratoren

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