Hyperebene

Hyperebene

Eine affine Hyperebene ist die Verallgemeinerung einer normalen Ebene im dreidimensionalen Raum auf allgemeine Vektorräume. Eine (affine) Hyperebene ist ein (affiner) Unterraum eines Vektorraumes mit Kodimension 1.

Eigenschaften

Ein wichtiger Zusammenhang besteht zwischen Hyperebenen topologischer Vektorräume und linearen Funktionalen.

  • Der Kern jedes linearen Funktionals, das nicht 0 ist, ist eine Hyperebene.
  • Zu jeder Hyperebene existiert ein lineares Funktional, so dass der Kern des Funktionals die Hyperebene ist.
  • Ein Funktional ist genau dann stetig, wenn der Kern abgeschlossen ist.
  • Eine Hyperebene ist entweder abgeschlossen oder liegt dicht im Vektorraum.

Hyperebenen im endlichdimensionalen Raum

  • Im eindimensionalen Raum sind einelementige Teilmengen Hyperebenen, also jeweils Mengen, die aus einem Punkt bestehen.
  • Im zweidimensionalen Raum sind die Geraden die Hyperebenen.
  • Im dreidimensionalen Raum ist jede Ebene eine Hyperebene.
  • Ist der zugrunde liegende Vektorraum endlichdimensional mit Dimension n, so sind die (affinen) Hyperebenen gerade die (affinen) Unterräume mit Dimension n − 1.

Siehe auch


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