Involut-Funktion

Die Involut-Funktion wird zur Berechnung bei Evolventenverzahnungen verwendet. Die Involut-Funktion ist definiert als:

$\mathrm{inv}(\alpha) = \tan (\alpha) - \overset{\frown}{\alpha} \ = \tan (\alpha) - \frac{\alpha \cdot \pi }{180^\circ}$

wobei der Winkel $\overset{\frown}{\alpha}$ in Bogenmaß und α in Grad anzugeben ist.

Beispiel:

$\mathrm{inv}(20^\circ) = \tan (20^\circ) - \frac{20^\circ \cdot \pi }{180^\circ} = 0,014904384$

Siehe auch Evolvente.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Involut-Funktion lässt sich nur iterativ bestimmen. Aus der Reihenentwicklung der Involut-Funktion

$\mathrm{inv}(\alpha) = \tan (\alpha) - \alpha = \frac{1}{3} \cdot \alpha^3 + \frac{2}{15} \cdot \alpha^5 + \frac{17}{315} \cdot \alpha^7 + ...$

lässt sich ableiten, dass für die inverse Involut-Funktion

$\alpha = \mathrm{inv}^{-1}(\alpha) \approx \sqrt[3]{3 \cdot \mathrm{inv}(\alpha)}$

eine akzeptable Näherung ist. Mit Hilfe des Newton-Verfahrens lässt sich der Wert von α (der inversen Involut-Funktion) weiter verbessern:

$\alpha_{i+1} = \alpha_i + \frac{\frac{\alpha_i + \mathrm{inv}(\alpha)} {\tan \alpha_i}-1}{\tan \alpha_i}$