K.p-Theorie

Die k·p-Methode (auch KP-Methode) ist eine Methode der Quantenmechanik zur näherungsweisen Lösung der Schrödinger-Gleichung für Elektronen in Halbleitern und anderen Festkörpern und damit insbesondere zur Bestimmung der Bandstruktur des Festkörpers. Die Bezeichnung stammt daher, dass in den Energien der einzelnen Energiebänder ein Ausdruck der Form k·p, also das Skalarprodukt des Wellenvektors und des quantenmechanischen Impulsoperators auftritt.

Die k·p-Methode baut auf einer Beschreibung der Elektronen als nicht miteinander wechselwirkende Teilchen in einem effektiven periodischen Potential (das die Wechselwirkung mit den anderen Elektronen und die Atomkernen beschreibt) auf. Sie erlaubt es, aus den für einen Wellenvektor k₀ des Elektrons bekannten Lösungen der Schrödinger-Gleichung die Lösungen für andere k-Werte und damit die Bandstruktur des Festkörpers zu bestimmen. Die Lösungen bei k=k₀ müssen mit einer anderen Methode berechnet werden, oft geschieht das mit Hilfe der Dichtefunktionaltheorie, die beispielsweise für große Elementarzellen nur für k₀=0, den sogenannten Γ-Punkt durchgeführt werden. Die Elektronenenergien für andere k-Werte werden dann daraus störungstheoretisch bestimmt.

Mathematisch betrachtet, werden die Elektronenzustände als Blochwellen angeschrieben,

$\psi_{\mathbf{k},n}(\mathbf{r})=U_{\mathbf{k},n}(\mathbf{r}) e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}}$ ,

wobei die verschiedenen Elektronenzustände für einen k-Wert, also die Energiebänder, mit n nummeriert sind. Die Funktionen $U_{\mathbf{k},n}(\mathbf{r})$ können nun als Linearkombinationen der Funktionen beim Referenzwert k₀ dargestellt werden:

$U_{\mathbf{k},n}(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^{N}{a_{i\mathbf{k}} U_{\mathbf{k_0},i}(\mathbf{r})}$.

Wenn wie hier N Bänder berücksichtigt werden, spricht man auch von der N-Band k ·p-Methode. Je größer N desto genauer ist die erhaltene Näherung.

Die k·p-Methode wird vor allem in Rechnungen für Halbleitermaterialien verwendet; damit kann beispielsweise die effektive Masse der Elektronen und die Wechselwirkung mit Licht mit weniger Aufwand als bei einer vollständigen Rechnung bestimmt werden. Wichtig ist sie insbesondere im Fall entarteter Bänder, da der k·p-Term die Bänder miteinander koppelt und die Entartung teilweise aufhebt und neue Auswahlregeln für optische Übergänge zwischen den Bändern bestimmt.

Mit den so erhaltenen Daten kann auch das elektronische Verhalten von Bauteilen der Mikroelektronik simuliert werden.

Literatur

• C. Kittel, Quantentheorie des Festkörpers, R. Oldenbourg Verlag, München 1970. (S. 201ff)
• I. J. Robertson und M. C. Payne, k-point sampling and the k.p method in pseudopotential total energy calculations J. Phys.: Condens. Matter 2, 9837 (1990).
• W. Schäfer und M. Wegener, Semiconductor Optics and Transport Phenomena, Springer 2002. ISBN 3-540-61614-4. (S. 72ff)

Weblinks

Die k.p-Methode Dissertation über Modellierung des Elektronentransports in Verbindungshalbleiterlegierungen von Christian Köpf