Kan-Erweiterung

In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung $?\circ F=X$ sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.

Definition

Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.

Linksseitige Kan-Erweiterung

Seien $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$ Kategorien, L, X, F und M Funktoren und σ und α natürliche Transformationen.

Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors $X\colon \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ entlang eines Funktors $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ist ein Paar $(L\colon \mathcal{B} \to \mathcal{C}, \varepsilon\colon X \to L\circ F)$, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes $M\colon \mathcal{B}\to\mathcal{C}$ und jedes $\alpha\colon X \to M\circ F$ gibt es genau ein $\sigma\colon L \to M$ mit $\sigma_F \circ \varepsilon = \alpha$, wobei $\sigma_F(A) = \sigma\left(F(A)\right)$.

Rechtsseitige Kan-Erweiterung

Seien $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$ Kategorien, R, X, F und M Funktoren und δ und μ natürliche Transformationen.

Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors $X\colon \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ entlang eines Funktors $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ist ein Paar $(R\colon \mathcal{B} \to \mathcal{C}, \eta\colon R\circ F\to X)$, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes $M\colon \mathcal{B}\to\mathcal{C}$ und jedes $\mu\colon M\circ F\to X$ gibt es genau ein $\delta\colon M \to R$ mit $\eta \circ \sigma_F = \mu$, wobei $\delta_F(A) = \delta\left(F(A)\right)$.

Literatur

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Second Edition. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.