Kendalls Konkordanzkoeffizient

Kendalls Konkordanzanalyse (nach Maurice George Kendall) ist ein nicht-parametrisches statistisches Verfahren zur Quantifizierung der Übereinstimmung zwischen mehreren Beurteilern (Ratern). Damit stellt Kendalls Konkordanzkoeffizient W eine Alternative zu

• Kappa-Statistiken - die für nominalskalierte Daten gedacht sind - und

• Rangkorrelationskoeffizienten für Ordinaldaten (wie Spearmans ρ und Kendalls τ - die hauptsächlich für zwei Beurteiler gedacht sind -

dar.

Der Konkordanzkoeffizient W ähnelt dem Cronbachs Alpha zur Bestimmung der Reliabilität z. B. eines Testverfahrens. Er nimmt Werte zwischen 0 und 1 an.

Formel

Wenn j = 1,2,3,...m Beurteiler die i = 1,2,...N Fälle (=Beobachtungsobjekte, Personen, Merkmale) in eine Rangreihe bringen, erhält jeder Fall von jedem Beurteiler einen Rangplatz R_ij; die Summe aller vergebenen Rangplätze für einen Fall i ist dann:

$\!\,T_i=\sum_j R_{ij}$.

Wenn ein Beurteiler j einem Fall keinen eindeutigen Rangplatz (1,2,3,...N) zuweist, sondern sich z. B. mehrere Fälle einen Rangplatz teilen müssen, spricht man dabei von "Rangbindung". Die Anzahl der Fälle, die sich bei einem Beurteiler j jeweils einen konkreten Rangplatz k teilen, nennt man Rangbindungslänge t_jk.

Natürlich können auch bei einem Beurteiler mehrere Rangbindungen auftreten, wenn Fälle gleich eingeschätzt werden. Die Gesamtzahl der Rangbindungen bei einem Beurteiler j lautet:

$\!\,s_j=\sum_k t_{jk}$.

Kendalls W wird daraus wie folgt berechnet:

$W = \frac {12 \cdot \sum_{i=1}^N (T_i - \overline{T})^2} {m^2 (N^3-N) - m \cdot t}$

wobei

$\!\,\overline{T}=\frac 1N \sum_i T_i$

und

$t = \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{s_j} (t_{jk}^3 - t_{jk})$.

W steht mit dem Friedman-Koeffizient χ² (englischer Artikel) sowie dem Rangkorrelationskoeffizient ρ von Spearman in direkter Beziehung:

$\chi^2 = m \cdot (N-1) \cdot W$ und

$\bar\rho = \frac {m \cdot (W-\frac{1}{m})} {(m-1)}$,

wobei $\bar\rho$ den Mittelwert aller Rangkorrelationen zwischen den möglichen Kombinationen aus jeweils 2 Beurteilern $\bar\rho = \begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix}^{-1} \sum \sum \rho$ darstellt.

Literatur und Quellen

• Bortz, J., Lienert, G. A. & Boehnke, K. (1990): Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Kap. 9. Berlin: Springer.
• M. G. Kendall, Babington Smith, B.: The Problem of m Rankings. In: The Annals of Mathematical Statistics. 10, Nr. 3, Sep 1939, S. 275-287.