Kolmogorow-Ungleichung

Die Kolmogorow-Ungleichung ist eine sogenannte Maximal-Ungleichung aus der Stochastik. Sie wurde Ende der 1920er Jahre vom russischen Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow bewiesen und dient zum Beweis eines starken Gesetzes der großen Zahlen für Zufallsvariablen, die nicht unbedingt identisch verteilt sein müssen, aber dem kolmogorowschen Kriterium folgen.

Ihre Aussage

Die Kolmogorow-Ungleichung besagt, dass für eine Folge $(X_n)_n\;$ unabhängiger Zufallsvariablen mit $E[X_n] = 0\;$ für jedes $\varepsilon >0\;$ die folgende Maximalungleichung gilt:

$P(\max_{1 \leq k \leq n} |S_k| > \varepsilon) \leq \frac{1}{\varepsilon^2} \sum_{k=1}^{n} \mbox{Var}(X_k)$.

$S_k\;$ bezeichnet dabei die k-te Partialsumme $\sum_{i=1}^{k} X_i$.

Literatur

• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3110172364.