Konforme Abbildung (Geodäsie)

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Begründung: Siehe Diskussion--Christian1985 (Diskussion) 19:19, 7. Nov. 2011 (CET)

Für die Handhabung geodätischer Messungen ist der Begriff des Winkels von zentraler Bedeutung. Umso wichtiger ist es, dass der Betrag eines Winkels bei den unterschiedlichen Berechnungen nicht verändert wird. Dies betrifft sowohl die kartographischen Abbildungen, als auch die Transformation von Messwerten und Koordinaten.

In der Geodäsie und Kartographie hat man es mit der ebenen Abbildung gekrümmter Flächen zu tun, mit der Abbildung der geometrischen Erdfigur, die durch ein bestanpassendes Rotationsellipsoid oder eine Kugel angenähert wird. Das Problem ist vom Schälen einer Orange bekannt: will man die Schale verebnen, dann reißt sie ein. Übertragen auf die Erdfigur heißt dies, dass man die Erdoberfläche stückweise abbilden muss, um die Verzerrungen im Griff zu behalten. Je kleiner diese Stücke sind, desto kleiner sind dann die Verzerrungen.

Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies, dass bei geodätischen Abbildungen Urbild und Abbild nie identisch sind, sie können nur ähnlich sein. Ist diese Ähnlichkeit aber in kleinsten Teilen hoch – in differentiellem Sinne –, dann bezeichnete Carl Friedrich Gauß dies als konforme Abbildung.

Grundgleichungen der konformen Abbildung von Flächen

Es sei ein räumliches Koordinatensystem festgelegt:

(1)   $x = x(u,v); \quad y = y(u,v); \quad z = z(u,v) \qquad$

Für eine differentielle Strecke in diesem System gilt dann:

(2)   $\mathrm{d} s^2 = \mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2 + \mathrm{d} z^2 \qquad$

Bildet man die totalen Differentiale, dann erhält man die so genannten Fundamentalgrößen 1. Ordnung:

(3a)   $E = \left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)^2 \qquad$

(3b)   $F = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} \qquad$

(3c)   $G = \left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)^2 \qquad$

(3)   $\mathrm{d} s^2 = E \cdot \mathrm{d} u^2 + 2 \cdot F \cdot \mathrm{d} u \mathrm{d} v + G \cdot \mathrm{d} v^2 \qquad$

Heute benennt man diese Fundamentalgrößen auch als Komponenten des ersten Fundamentaltensors mit den Bezeichnungen:

(3d)   $E = g_{11}; \quad F = g_{12}; \quad G = g_{22} \qquad$

Will man jetzt zwei Flächen A (als Urbild) und B (als Abbild) aufeinander abbilden, so ergeben sich analog zu (1) die folgenden Gleichungen:

(4a)   $x_A = x_A(u_A,v_A); \quad y_A = y_A(u_A,v_A); \quad z_A = z_A(u_A,v_A) \qquad$

(4b)   $x_B = x_B(u_B,v_B); \quad y_B = y_B(u_B,v_B); \quad z_B = z_B(u_B,v_B) \qquad$

Da für die Abbildung aber ein Abbildungsgesetz gelten muss, lässt sich schreiben:

(4c)   $u_B = u_B(u_A,v_A); \quad v_B = v_B(u_A,v_A), \qquad$

womit man erhält:

(4)   $x_B = x_B(u_A,v_A); \quad y_B = y_B(u_A,v_A); \quad z_B = z_B(u_A,v_A) \qquad$

Da (4c) eine konforme Abbildung erzeugen soll, muss der differentielle Maßstab einer Strecke im Ur- und Abbild unabhängig sein vom Richtungswinkel der Strecke und die Winkel zwischen Oberflächenkurven dürfen sich nicht ändern. Für das differentielle Teilstück aus (3) lässt sich nun für das Ur- und Abbild schreiben:

(5a)   $\mathrm{d} s_A^2 = E_A \cdot \mathrm{d} u^2 + 2 \cdot F_A \cdot \mathrm{d} u \mathrm{d} v + G_A \cdot \mathrm{d} v^2 \qquad$

(5b)   $\mathrm{d} s_B^2 = E_B \cdot \mathrm{d} u^2 + 2 \cdot F_B \cdot \mathrm{d} u \mathrm{d} v + G_B \cdot \mathrm{d} v^2 \qquad$

Setzt man die differentiellen Strecken aus (5a) und (5b) zueinander in Beziehung, dann ergibt sich das so genannte Vergrößerungsverhältnis:

(6)   $m^2 = \frac{\mathrm{d} s_B^2}{\mathrm{d} s_A^2} = \frac{\mathrm{d} u^2 \cdot \left( E_B + 2 \cdot F_B \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} u} + G_B \cdot \left( \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} u} \right)^2 \right)}{\mathrm{d} u^2 \cdot \left( E_A + 2 \cdot F_A \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} u} + G_A \cdot \left( \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} u} \right)^2 \right)} \qquad$

Gilt

(7)   $E_A : F_A : G_A = E_B : F_B : G_B, \qquad$

dann fallen die Differentiale dv/du aus (6) heraus und die Gleichung ist richtungsunabhängig! Das heißt, dass die Winkel sich in einem differentiellen Bereich um einen Punkt herum nicht ändern. Wegen des Vergrößerungsverhältnisses ändern sich die Streckenmaßstäbe leicht, diese Änderungen sind aber unabhängig vom Richtungswinkel dieser Strecke. In der Praxis zeigt sich dies bei den bisher in der Landesvermessung verwendeten Gauß-Krüger-Koordinaten. Die Streifenbreite eines derartigen Systems wurde auf drei Grad Breite ausgelegt, damit bei Katastervermessungen die Streckenverzerrungen zwischen den Koordinatenstrecken und den örtlichen Strecken einen vertretbaren Wert nicht überschritten.

Da in der Geodäsie vorwiegend rechtwinkelige Koordinatennetze gefordert werden, lassen sich die Werte aus (3a) bis (3c) vereinfachen:

(8)   $F = 0; \quad E = G; \quad \mathrm{d} s^2 = E \cdot (\mathrm{d} u^2 + \mathrm{d} v^2) \qquad$

Es ergibt sich eine differentielle Flächenstruktur, deren Parameter in der Wärmeleitung eine wesentliche Rolle spielen, deshalb spricht man auch von isothermen Netzen. In der Geodäsie werden diese Parameter als isometrische Parameter bezeichnet. Nun lassen sich isotherme Netze aber auch erzeugen, wenn E ungleich G ist, wie dies bei Meridianen und Breitenkreisen bei Ellipsoid und Kugel der Fall ist. Die allseits bekannten Breiten b werden in diesem Falle in isometrische Breiten q überführt, was dann wiederum die Grundlage für die Herleitung der konformen Gauß-Krüger-Koordinaten und der Universal Transverse Mercator Projection (UTM) liefert.

Literatur

[1] Großmann, Walter: Geodätische Rechnungen und Abbildungen in der Landesvermessung; Stuttgart, 1976.

[2] Heck, Bernhard: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung; Herbert Wichmann Verlag, 3. Aufl. 2003, ISBN 3-87907-347-3

Siehe auch

• Isothermes Netz
• Analytische Abbildung (Geodäsie)