Analytische Abbildung (Geodäsie)

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Begründung: Kein Artikel --Christian1985 (Diskussion) 15:36, 11. Nov. 2011 (CET)

Die analytische Abbildung stellt einen Baustein bei der Herleitung der Gaußschen Abbildung dar.

Auf der Grundlage der konformen Abbildung [A] und der isothermen Netze [B] wird die Grundlage geschaffen für die Transformation von Oberflächenkoordinaten einer mathematisch geschlossen beschreibbaren Fläche (Urbild) in ein konformes und orthogonales System (Abbild).

In der Geodäsie stellen derartige Urbilder entweder Kugeln oder Ellipsoide dar. Endprodukte dieses Vorgehens sind z. B. die Gaußschen Abbildungen (z. B. deutsches Gauß-Krüger-System, UTM-Systeme, Gauß-Boaga-System) und die Lambert-Abbildung.

Die Komplexität der Berechnungen macht es erforderlich, dass man für die Berechnungen eine glatte Rechenfläche zur Verfügung hat. Unregelmäßige Ausgangskörper – wie z. B. das Geoid – scheiden daher aus. Man benötigt eine Fläche, die eine geschlossene analytische Rechnung zulässt. Üblicherweise verwendet die Geodäsie dazu Rotationsellipsoide (früher, bei lokalen Systemen auch Kugeln), welche lokal an das Geoid bestmöglich angepasst sind.

In Anlehnung an das System der Längen (L) und Breiten (B) werden für isometrische Koordinaten die Bezeichnungen l und q eingeführt. Unter Bezug auf [A] (1) lässt sich schreiben:

[A](1)   $x = x(u,v); \quad y = y(u,v); \quad z = z(u,v)$

(1)   $x = x(q,l); \quad y = y(q,l); \quad z = z(q,l)$

Differenziert man diesen Ausdruck, so erhält man:

(2a)   $\mathrm{d} x = {{\partial x} \over {\partial q}} \cdot \mathrm{d} q + {{\partial x} \over {\partial l}} \cdot \mathrm{d} l$

(2b)   $\mathrm{d} y = {{\partial y} \over {\partial q}} \cdot \mathrm{d} q + {{\partial y} \over {\partial l}} \cdot \mathrm{d} l$

Betrachtet man die vektorielle Drehstreckung, also eine Koordinatentransformation, die das Netz lediglich dreht, den Maßstab variiert und ansonsten die orthogonale Achsenstellung beibehält. Diese lässt sich am einfachsten in komplexer Form darstellen:

Ausgangssystem:

(3)   w = q + li

Zielsystem:

(4)   z = x + yi

Transformationsparameter:

(5)   c = a + bi

Dabei gilt die Transformationsvorschrift:

(6)   $z = c \cdot w = (a + bi) \cdot (x + yi)$

Multipliziert man beide Klammern aus und trennt die Variablen in den Real- und Imaginärteil, dann ergibt sich:

(7)   $x = a \cdot q - b \cdot l; \quad y = b \cdot q + a \cdot l$

Dieser Ausdruck stellt nichts anderes als eine geodätische Helmert-Transformation dar. Differenziert man ihn, so findet man:

(8)   $\mathrm{d} x = a \cdot \mathrm{d} q - b \cdot \mathrm{d} l; \quad \mathrm{d} y = b \cdot \mathrm{d} q + a \cdot \mathrm{d} l$

Sollen (2a,b) und (8) ineinander überführt werden, dann ergeben sich die Bedingungen für die Transformationsparameter aus (8).

(9)   $a = {{\partial x} \over {\partial q}} = {{\partial y} \over {\partial l}}; \quad b = {{\partial y} \over {\partial q}} = -{{\partial x} \over {\partial l}}$

Dieser Ausdruck entspricht den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Weiterhin müssen folgende Bedingungen gelten:

(10)   ${{\partial^2 x} \over {\partial q^2}} + {{\partial^2 x} \over {\partial l^2}} = 0; \quad {{\partial^2 y} \over {\partial q^2}} + {{\partial^2 y} \over {\partial l^2}} = 0$

(11)   ${{\partial x} \over {\partial q}} \cdot {{\partial y} \over {\partial q}} + {{\partial x} \over {\partial l}} \cdot {{\partial y} \over {\partial l}} = 0$

Das Vergrößerungsverhältnis aus [A] (6) lässt sich nun umformulieren:

(12)   $m^2 = {{\mathrm{d} s_{xy}^2} \over {\mathrm{d} s_{ql}^2}} = {{E_{xy}} \over {E_{ql}}} \cdot {{\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2} \over {\mathrm{d} q^2 + \mathrm{d} l^2}}$

Literatur

• Großmann, Walter: Geodätische Rechnungen und Abbildungen in der Landesvermessung; Stuttgart, 1976.
• Heck, Bernhard: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung; Karlsruhe, 1987.