Kontrahierbarkeit

Kontrahierbarkeit

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie heißt ein topologischer Raum X kontrahierbar oder zusammenziehbar, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Raum ist, d.h. wenn es eine stetige Abbildung

H\colon X\times[0,1]\to X

gibt, für die

  • H(x,0) = x für alle x\in X und
  • H(x,1) = p für alle x\in X mit einem festen p\in X

gilt.

Beispiel

Der euklidische Raum \mathbb R^n ist zusammenziehbar: Setze

H(x,t) = (1 − t)x für x\in\mathbb R^n und 0\leq t\leq1.

Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne "stetig zu einem Punkt deformiert wird": Das Bild der Abbildung

\mathbb R^n\to\mathbb R^n,\quad x\mapsto H(x,t)

ist für t < 1 stets der gesamte Raum, erst für t = 1 ist das Bild nur noch der Ursprung.

Gegenbeispiel

Die Einheitssphäre \mathbb S^n (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar. Jedoch für n\geqslant 2 einfach zusammenhängend.

Nullhomotope Abbildungen

Eine stetige Abbildung X\to Y heißt nullhomotop (auch zusammenziehbar oder kontrahierbar), wenn sie homotop zu einer konstanten Abbildung ist.


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