Kontrahierbarkeit

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie heißt ein topologischer Raum X kontrahierbar oder zusammenziehbar, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Raum ist, d.h. wenn es eine stetige Abbildung

$H\colon X\times[0,1]\to X$

gibt, für die

• H(x,0) = x für alle $x\in X$ und
• H(x,1) = p für alle $x\in X$ mit einem festen $p\in X$

gilt.

Beispiel

Der euklidische Raum $\mathbb R^n$ ist zusammenziehbar: Setze

H(x,t) = (1 − t)x für $x\in\mathbb R^n$ und $0\leq t\leq1$.

Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne "stetig zu einem Punkt deformiert wird": Das Bild der Abbildung

$\mathbb R^n\to\mathbb R^n,\quad x\mapsto H(x,t)$

ist für t < 1 stets der gesamte Raum, erst für t = 1 ist das Bild nur noch der Ursprung.

Gegenbeispiel

Die Einheitssphäre $\mathbb S^n$ (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar. Jedoch für $n\geqslant 2$ einfach zusammenhängend.

Nullhomotope Abbildungen

Eine stetige Abbildung $X\to Y$ heißt nullhomotop (auch zusammenziehbar oder kontrahierbar), wenn sie homotop zu einer konstanten Abbildung ist.