Krulltopologie

Die Krulltopologie, nach Wolfgang Krull, ist eine Topologie auf der Galoisgruppe einer nicht notwendigerweise endlichen Körpererweiterung L / K, so dass diese zu einer so genannten topologischen Gruppe wird.

Definition für Galoiserweiterungen

Es sei L / K eine nicht notwendigerweise endliche galoissche Körpererweiterung. Für eine unendliche Erweiterung bedeute dabei galoissch, dass die Erweiterung separabel ist und zu jeder endlichen galoisschen Teilerweiterung $K\subseteq M\subseteq L$ auch die normale Hülle von M enthält.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Krulltopologie zu definieren:

1. Man definiert die Umgebungsbasis des neutralen Elements als die Menge

$\{G(L/M)\mid K\subseteq M\subseteq L,\ [M:K]<\infty\}$

der Galoisgruppen für über K endliche Teilerweiterungen M .

2. Es gibt eine kanonische Bijektion

G(L / K) = lim _MG(M / K),

wobei M alle über K endlichen Teilerweiterungen $K\subseteq M\subseteq L$ durchläuft. Versieht man die endlichen Gruppen G(M / K) mit der diskreten Topologie und den projektiven Limes mit der Limestopologie, so erhält man dieselbe Topologie wie unter 1. Mit dieser Darstellung ist ersichtlich, dass G(L / K) eine proendliche Gruppe ist.

Hauptsatz der Galoistheorie

Die Bedeutung der Krulltopologie liegt darin begründet, dass sie es ermöglicht, den Hauptsatz der Galoistheorie auf unendliche Galoiserweiterungen auszudehnen: Ist L / K eine unendliche Galoiserweiterung, so gibt es eine kanonische Bijektion zwischen Teilerweiterungen $K\subseteq M\subseteq L$ und abgeschlossenen Untergruppen von G(L / K): Einer Erweiterung M entspricht die Untergruppe

$G(L/M)\subseteq G(L/K),$

einer Untergruppe $U\subseteq G(L/K)$ die Erweiterung

$L^U=\{x\in L\mid \sigma x=x\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ \sigma\in U\}.$

Eine Teilerweiterung M / K ist genau dann normal (und damit galoissch), wenn G(L / M) ein Normalteiler in G(L / K) ist; die Galoisgruppe G(M / K) ist kanonisch isomorph zum Quotienten G(L / K) / G(L / M).

Darstellungen

Es sei K ein Körper und K^sep ein separabler Abschluss von K. Weiter sei V ein Vektorraum (über irgendeinem Körper). Versieht man GL(V) mit der diskreten Topologie, so sind Darstellungen von G(K^sep / K) auf V genau dann stetig, wenn sie über einen endlichen Quotienten G(M / K) für eine endliche Erweiterung M / K faktorisieren. Die Kategorie der stetigen Darstellungen von G(K^sep / K) ist also in diesem Sinne die Vereinigung aller Kategorien von Darstellungen der Gruppen G(M / K) für endliche Erweiterungen M / K.

Verallgemeinerung: Nicht algebraische Erweiterungen

Es sei L / K eine beliebige Körpererweiterung. Die Krulltopologie auf der Gruppe $\operatorname{Aut}(L/K)$ der Körperautomorphismen von L, die K elementweise festlassen, ist diejenige Topologie, für die die Untergruppen

$G(S)=\{\sigma\in\operatorname{Aut}(L/K)\mid \sigma s=s\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ s\in S\}$

für endliche Teilmengen $S\subseteq L$ eine Umgebungsbasis des Einselementes bilden. $\operatorname{Aut}(L/K)$ wird mit dieser Topologie zu einer topologischen Gruppe.