Laurent-Entwicklung

Die Laurent-Reihe (nach Pierre Alphonse Laurent) ist eine unendliche Reihe ähnlich einer Potenzreihe, aber zusätzlich mit negativen Exponenten. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in x mit Entwicklungspunkt c diese Gestalt:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (x-c)^n$

Dabei sind die a_n und das c meist komplexe Zahlen, es gibt aber auch andere Möglichkeiten, die im Abschnitt "Formale Laurent-Reihen" beschrieben sind. Für komplexe Laurent-Reihen benutzt man meist die Variable z statt x.

Summanden, in denen a_k = 0 ist, werden meist nicht mitgeschrieben, deshalb muss nicht jede Laurent-Reihe in beide Richtungen ins Unendliche gehen. (Wie es auch bei Potenzreihen gehandhabt wird, und ähnlich zur Darstellung abbrechender Dezimalbrüche, die eigentlich unendlich viele Nullen hinter den letzten Ziffern haben.)

Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den Hauptteil der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den Nebenteil.

Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine Potenzreihe, hat sie außerdem nur endlich viele Terme mit nichtnegativen Exponenten, dann ist sie ein Polynom. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom.

Beispiel

Sei $K\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$, $f\colon K\to K \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(\frac{-1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$.

Für $K=\mathbb{R}$ ist f unendlich oft differenzierbar, für $K=\mathbb{C}$ ist sie jedoch in x = 0 nicht komplex differenzierbar, sie hat dort sogar eine wesentliche Singularität.

Indem man nun $\frac{-1}{x^2}$ in die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion einsetzt, erhält man die Laurent-Reihe von f mit Entwicklungspunkt 0:

$f(x) = \sum_{j=0}^\infty (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}$

Sie konvergiert für jede komplexe Zahl x außer für x = 0 (wo bereits die Summanden nicht definiert sind).

Das nachfolgende Bild zeigt, wie sich die Partialsummenfolge

$f_n(x) = \sum_{j=0}^n (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}$

an die Funktion annähert (die Kurve für $n = \infty$ ist f selbst).

Konvergenz von Laurent-Reihen

Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der Funktionentheorie, vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit Singularitäten.

Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem Kreisring holomorph sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer Kreisscheibe holomorph sind.

Sei

$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n$

eine Laurent-Reihe in z mit komplexen Koeffizienten a_n und Entwicklungspunkt c. Dann gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen r und R, so dass folgendes gilt:

• Die Laurent-Reihe konvergiert auf dem offenen Kreisring $A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}$ normal, also insbesondere absolut und lokal gleichmäßig. Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil normal konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder kompakten Teilmenge von A, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in A. Die Laurent-Reihe definiert auf A eine holomorphe Funktion f.
• Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von A, $\{ z : r > \vert z - c \vert\vee\vert z - c \vert > R\}$, die Reihe der Terme mit positiven oder die Terme mit negativen Exponenten divergiert.
• Auf dem Rand des Kreisrings kann man keine allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die f nicht holomorph fortgesetzt werden kann.

Es ist möglich, dass r = 0 und $R = \infty$ ist, es kann aber auch sein, dass r = R ist. Die beiden Radien können wie folgt mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnet werden:

$r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}$

$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}$

Man setzt $\frac{1}{0}=\infty$ und $\frac{1}{\infty}=0$ in der zweiten Formel.

Umgekehrt kann man mit einem Kreisring $A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}$ und einer auf A holomorphen Funktion f beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt c, die (mindestens) auf A konvergiert und dort mit f übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt

$a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(c)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-c\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta$

für alle $n\in\mathbb{Z}$ und ein $\varrho\in(r,R)$. Wegen des Integralsatzes von Cauchy kommt es auf die Auswahl von $\varrho$ nicht an.

Der Fall r = 0, also der einer holomorphen Funktion f auf einer gelochten Kreisscheibe um c, ist besonders wichtig. Der Koeffizient a _{− 1} der Laurentreihenentwicklung von f heißt Residuum von f in der isolierten Singularität c, er spielt eine große Rolle im Residuensatz.

Formale Laurent-Reihen

Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten X, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. Die Koeffizienten a_k können dann aus einem beliebigen kommutativen Ring K stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten (also mit einem so genannten endlichen Hauptteil), und die Entwicklungsstelle c auf 0 festzulegen.

Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem man ihre entsprechenden Koeffizienten addiert, und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch Faltung ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden (man multipliziert sie einfach formal aus, wie man es mit Potenzreihen macht). Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring K zu einem kommutativen Ring, der mit K((X)) bezeichnet wird.

Ist K ein Körper, dann bilden die formalen Potenzreihen in der Unbestimmten X über K einen Integritätsring, der mit K[[X]] bezeichnet wird. Sein Quotientenkörper ist isomorph zum Körper K((X)) der Laurent-Reihen über K.