Stieltjes-Konstanten

Die Stieltjes-Konstanten γ_n sind eine Folge reeller Zahlen, die durch folgenden Grenzwert definiert sind:

$\gamma_n := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log^n k}{k} - \frac{\log^{n+1} N}{n+1}\right), \quad n=0,1,2,\dots$

wobei γ₀ die Eulersche Konstante γ ist. Es wird vermutet, dass die γ_n irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion

$\zeta(s) = \frac1{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\gamma_n}{n!}(s-1)^n$

und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:

$\int\limits_0^{\infty}\frac{\log^2 x}{e^x+1}\,\mathrm{d}x = \tfrac13\log2\big(\log^2 2 + \zeta(2) - \gamma^2 - 2\gamma_1\big)$ = 1,121192486…

Sie hängen eng mit den Zahlen

$\tau_n := \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\log^n k}{k}, \quad n=0,1,2,\dots$

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion

$\tau_0=\log2,\qquad\tau_n =\frac{\log^{n+1}2}{n+1} - \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\log^{n-k}2\cdot\gamma_k,\qquad n=1,2,\dots$

und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:

$\gamma_n = -\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}B_{n+1-k}\log^{n-k}2 \cdot \tau_k, \quad n=0,1,2,\dots$

Aus der Rekursion ergibt sich für n=1 die Identität $\tau_1 = \tfrac12\log^2 2 - \gamma\log2$, d.h. für die Eulersche Konstante die alternierende Reihe

$\gamma = \tfrac12\log2 + \frac1{\log2}\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\log k}{k} = \tfrac12\log2 + \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\log_2 k}{k},$

die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die beiden Folgen γ_n und τ_n zeigen numerisch ein merkwürdiges Verhalten. Die Verteilung der Vorzeichen erinnert an die Verteilung der Primzahlen.

Numerische Werte

n	Näherungswert von γn	OEIS
0	0,577215664901532860606512090	A001620
1	-0,072815845483676724860586	A082633
2	-0,0096903631928723184845303	A086279
3	0,002053834420303345866160	A086280
4	0,0023253700654673000574	A086281
5	0,0007933238173010627017	A086282
6	-0,00023876934543019960986	A183141
7	-0,0005272895670577510	A183167
8	-0,00035212335380	A183206
9	-0,0000343947744	A184853
10	0,000205332814909	A184854

Verallgemeinerung

Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:

$\gamma_n(a) := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log^n(k+a)}{k+a} - \frac{\log^{n+1} (N+a)}{n+1}\right), \quad n=0,1,2,\dots$

Literatur

Die Stieltjes-Konstanten γ_n sowie ihre Verallgemeinerung γ_n(a) sind in der Literatur bislang nur wenig untersucht worden. Viele Resultate finden sind nur vereinzelt in vielen entlegenen Zeitschriftenartikeln.

• Rick Kreminski. Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes (generalized Euler) constants. Mathematic of Computation, vol.72, nr.243, p.1379-1397, 2003

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Stieltjes Constants. In: MathWorld. (englisch)
• Werte der Stieltjes-Konstanten von 0 bis 78, je 256 Dezimalstellen