Annullator

Es gibt zwei Begriffsbildungen der Mathematik, die mit dem Wort Annihilator (oder auch Annullator) bezeichnet werden.

Annihilator im Kontext von Formen

Sei V ein Vektorraum, V * der zugehörige Dualraum und S eine Teilmenge von V. Dann heißt $S^0=\lbrace f\in V^*\mid f(S)=\lbrace0 \rbrace\rbrace$ der Annihilator von S.

Eigenschaften des Annihilators

• $S^0\subseteq V^*$.
• $S^0=\langle S\rangle^0$, wobei $\langle S\rangle$ der von S erzeugte Unterraum ist.
• Ist $S_1\subseteq S_2$, so ist $S_1^0\supseteq S_2^0$

Annihilator eines Moduls

Es sei A ein Ring und M ein A-Modul. Dann ist der Annihilator von M

$\operatorname{Ann} M = \{a\in A\mid am=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ m\in M\}.$

Man kann den Annihilator auch beschreiben als den Kern der Strukturabbildung

$A\to\operatorname{End}_{\mathbb Z}M, a\mapsto \ell_a$, wobei $\ell_a:M\rightarrow M$ die Linksmultiplikation mit a ist.

Der Annihilator ist ein Ideal in A.