Annihilator (Mathematik)

Es gibt zwei Begriffsbildungen der Mathematik, die mit dem Wort Annihilator (oder auch Annullator) bezeichnet werden.

Annihilator im Kontext von Formen

Definition

Sei V ein Vektorraum, V ^* der zugehörige Dualraum und S eine Teilmenge von V. Dann heißt $S^0=\lbrace f\in V^*\mid f(S)=\lbrace0 \rbrace\rbrace$ der Annihilator von S.

Eigenschaften des Annihilators

• $S^0\subseteq V^*$.
• $S^0=\langle S\rangle^0$, wobei $\langle S\rangle$ der von S erzeugte Unterraum ist.
• Ist $S_1\subseteq S_2$, so ist $S_1^0\supseteq S_2^0$

Jeder Annihilator ist ein Unterraum des Dualraumes, weshalb man auch von einem Annullatorraum spricht. Der Annullatorraum ist eine Verallgemeinerung des orthogonalen Komplements auf Vektorräumen, in denen kein Skalarprodukt zur Verfügung steht.

Annihilator eines Moduls

Es sei A ein Ring und M ein A-Modul. Dann ist der Annihilator von M

$\operatorname{Ann} M = \{a\in A\mid am=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ m\in M\}.$

Man kann den Annihilator auch beschreiben als den Kern der Strukturabbildung

$A\to\operatorname{End}_{\mathbb Z}M, a\mapsto \ell_a$, wobei $\ell_a:M\rightarrow M$ die Linksmultiplikation mit a ist.

Der Annihilator ist ein Ideal in A.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0