Duale C*-Algebra

Die dualen C*-Algebren, auch C*-Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C*-Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.

Definition

Ist $M\subset A$ eine Teilmenge einer Algebra A, so heißt $\mbox{lan}(M):= \{x\in A;\, xM=\{0\}\}$ der Links-Annullator von M. Entsprechend heißt $\mbox{ran}(M):= \{x\in A;\, Mx=\{0\}\}$ der Rechts-Annullator von M. Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:

• $\mbox{lan}(\mbox{ran})(I)\,=\,I$ für alle abgeschlossenen Linksideale $I\subset A$,
• $\mbox{ran}(\mbox{lan})(I)\,=\,I$ für alle abgeschlossenen Rechtsideale $I\subset A$.

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.

Charakterisierungen

Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum H gibt, so dass sie isomorph zur Algebra K(H) der kompakten Operatoren auf H ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie (A_i)_i von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der A_i, die aus allen Tupeln (x_i)_i besteht, für die $\{i;\,\|x_i\|>\epsilon\}$ für jedes $\epsilon > 0$ endlich ist. Zusammen mit der Norm $\|(x_i)_i\| := \sup_i\|x_i\|$ ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra A sind folgende Aussagen äquivalent:

• A ist eine duale C*-Algebra.
• Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in A.
• Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in A.
• A ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
• A ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
• Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
• Für jedes $x\in A$ ist der Operator der Linksmultiplikation $L_x:\,A\rightarrow A,\, y\mapsto xy$ ein schwach-kompakter Operator.
• Für jedes $x\in A$ ist der Operator der Rechtsmultiplikation $R_x:\,A\rightarrow A,\, y\mapsto yx$ ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.

Beispiele

• Die Matrizen-Algebren $M_n(\C)$ $={\C}^{n\times n}$ sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
• Die Folgenalgebra c₀ der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von $\C \cong M_1(\C)$ und daher dual.
• Ist H ein Hilbertraum und ist A eine Unter-C*-Algebra von K(H), so ist A dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
• Die Funktionenalgebra C([0,1]) ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren c und $\ell^\infty$ der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.

Eigenschaften

• Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.

• Duale C*-Algebren sind liminal.

• Die Darstellungstheorie dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren K(H_i) vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten K(H_i).

Quellen

• W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969