Anordnungsaxiom

In der Algebra, einer Teildisziplin der Mathematik, ist ein geordneter Körper ein Körper zusammen mit einer totalen Ordnung „$\leq$“, die mit Addition und Multiplikation verträglich ist. Das bekannteste Beispiel ist der Körper der reellen Zahlen, das bekannteste Beispiel für einen Körper, der nicht strukturverträglich angeordnet werden kann, sind die komplexen Zahlen.

Definition

Ein Körper $(K,+,\cdot)$, auf dem eine totale Ordnung $\leq$ definiert ist, heißt geordneter Körper (oder auch angeordneter Körper), wenn die Ordnung mit den Körperoperationen verträglich ist, d.h. wenn für alle a,b,c aus K die folgenden Anordnungsaxiome gelten:

• aus $a \leq b$ folgt $a + c \leq b + c$
• aus $0 \leq a$ und $0 \leq b$ folgt $0 \leq a\cdot b$

Elemente, die größer als 0 sind, heißen positiv, Elemente kleiner als 0 heißen negativ.

Eigenschaften

Aus den Axiomen folgen unter anderem diese Eigenschaften (für alle a, b, c, d aus K):

• Das Negative eines positiven Elements ist negativ und das Negative eines negativen Elements ist positiv: Für jedes a aus K mit $a\neq 0$ gilt entweder − a < 0 < a oder a < 0 < − a.
• Man darf Ungleichungen addieren: Aus $a \leq b$ und $c \leq d$ folgt $a+c \leq b+d$.
• Man darf Ungleichungen mit positiven Elementen multiplizieren: Aus $a \leq b$ und $0 \leq c$ folgt $ac \leq bc$.
• Quadratzahlen sind nichtnegativ: $0 \leq a^2$. Insbesondere ist 0 < 1.
• Durch Induktion kann man folgern, dass jede endliche Summe von Einsen positiv ist: 0 < 1 + 1 + ... + 1.
• Ebenso ist jede endliche Summe von Quadraten positiv (außer wenn alle Summanden 0 sind).

Strukturaussagen

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0. Dies folgt unmittelbar aus der letztgenannten Eigenschaft 0 < 1+1+...+1.

Jeder Teilkörper eines geordneten Körpers ist geordnet. Wie für jeden Körper der Charakteristik 0 ist der kleinste enthaltene Körper isomorph zu den rationalen Zahlen, und die Ordnung auf diesem Teilkörper ist dieselbe wie die natürliche Anordnung auf $\Bbb Q$.

Wenn jedes Element eines angeordneten Körpers zwischen zwei rationalen Zahlen liegt, dann heißt der Körper archimedisch geordnet (wenn es also zu jedem Element eine größere und eine kleinere rationale Zahl gibt). Zum Beispiel sind die reellen Zahlen archimedisch, jedoch sind die hyperreellen Zahlen nicht-archimedisch. Die Eigenschaft eines geordneten Körpers, archimedisch geordnet zu sein, bezeichnet man auch als archimedisches Axiom.

Geordnete Körper und reelle Zahlen

Jeder archimedisch geordnete Körper ist (als geordneter Körper) zu einem eindeutig bestimmten Teilkörper von $\mathbb R$ isomorph. In diesem Sinn bilden die reellen Zahlen $\mathbb R$ den „größten“ archimedisch geordneten Körper.

Die Ordnung auf einem geordneten Körper K induziert eine Topologie, die Ordnungstopologie auf K, die durch die offenen Intervalle $\{x\in K | x &amp;lt; a\}$ und $\{x\in K | x &amp;gt; a\}$ als Subbasis erzeugt wird und Addition und Multiplikation sind bezüglich dieser Topologie stetig.

Ein geordneter Körper heißt ordnungsvollständig, wenn jede beschränkte Teilmenge des Körpers ein Infimum und Supremum hat.

Der Körper der reellen Zahlen lässt sich (bis auf Isomorphie) durch folgende Eigenschaft charakterisieren:

$\mathbb{R}$ ist ein ordnungsvollständiger geordneter Körper.

Da im Körper der reellen Zahlen genau die nichtnegativen Zahlen Quadrate sind – es gilt also dort $x\geq 0$ genau dann, wenn eine reelle Zahl y existiert mit y² = x – ist die Menge der positiven reellen Zahlen und damit die Anordnung aller reellen Zahlen algebraisch festgelegt (durch die Multiplikation). Die rationalen Zahlen, die einen dichten Teilkörper der reellen Zahlen bilden, lassen keinen Automorphismus außer der Identität zu, daher gilt dies auch für die reellen Zahlen. Zwischen zwei Modellen der reellen Zahlen gibt es also stets genau einen Ringisomorphismus und dieser ist stets ein ordnungserhaltender Körperautomorphismus. Der Artikel „Reelle Zahl“ beschreibt unterschiedliche Möglichkeiten, solche Modelle zu konstruieren.

Formal reelle Körper

Ein Körper heißt formal reell (oder nur reell ^[1]), wenn -1 sich nicht als endliche Summe von Quadraten schreiben lässt. Man kann zeigen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die 0 nur in trivialer Weise als endliche Summe von Quadraten dargestellt werden kann.

Jeder angeordnete Körper ist also ein formal reeller Körper. Umgekehrt lässt sich auf jedem formal reellen Körper eine Ordnung einführen, die diesen zu einem angeordneten Körper macht.

Beispiele

• Die rationalen Zahlen $\Bbb Q$ bilden den "kleinsten" angeordneten Körper.
• Die reellen Zahlen $\R$ und jeder Teilkörper von $\R$ sind angeordnete Körper.
• Die hyperreellen Zahlen sind ein angeordneter Körper.
• Die surrealen Zahlen bilden zwar eine echte Klasse und keine Menge, erfüllen aber ansonsten alle Axiome eines angeordneten Körpers. Jeder angeordnete Körper kann in die surrealen Zahlen eingebettet werden.
• Endliche Körper können nicht angeordnet werden, da ihre Charakteristik nicht 0 ist.
• Die komplexen Zahlen können nicht angeordnet werden, da die Eigenschaft $0 \leq a^2$ durch die imaginäre Einheit i wegen i² = − 1 verletzt wird.
• Die p-adischen Zahlen können nicht angeordnet werden, da sie für p>2 eine Quadratwurzel von 1-p und für p=2 eine Quadratwurzel von -7 enthalten.

Einzelnachweise

1. ↑ Alexander Prestel, Charles N. Delzell, Positive Polynomials. From Hilbert's 17th Problem to Real Algebra, Springer, 2001