- Lie-Algebra sl(2,C)
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In der Mathematik ist die Lie-Algebra
der Prototyp einer einfachen Lie-Algebra. Die
ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.
Die
ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe
. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper
definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra su(2) und die Lie-Algebra
.
Die Gruppe
spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überdeckung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen SO0(3,1) ist. Die beiden Formen der
korrespondieren in der physikalischen Realisierung einer Transformation des Bezugssystems mit den drei Drehwinkeln und den drei Boost-Richtungen.
Kommutator-Relationen
Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum
. Die
ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:
Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2x2-Matrizen:
Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt über
3
Durch die Definition des Kreuzproduktes in
3 und der folgenden Vektoren
ergibt sich die gleiche Algebra:
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