Kreuzprodukt

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) ist eine Verknüpfung im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum, die zwei Vektoren wieder einen Vektor zuordnet. Um es von anderen Produkten, insbesondere vom Skalarprodukt, zu unterscheiden, wird es mit einem Malkreuz als Multiplikationszeichen geschrieben.

Das Kreuzprodukt der Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Die Länge dieses Vektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannt wird.

In der Physik tritt das Kreuzprodukt beispielsweise bei der Berechnung der Lorentzkraft sowie in diversen Drehgrößen wie Drehmoment, Drehimpuls usw. auf.

Geometrische Definition

Rechte-Hand-Regel

Das Kreuzprodukt $\vec{a}\times\vec{b}$ von zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ im dreidimensionalen Anschauungsraum ist ein Vektor, der orthogonal zu $\vec a$ und $\vec b$, und damit zu der von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Ebene ist.

Dieser Vektor ist so orientiert, dass $\vec a$, $\vec b$ und $\vec{a}\times\vec{b}$ in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, das heißt, $\vec a\,,$ $\vec b$ und $\vec{a}\times\vec{b}$ verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und abgespreizter Mittelfinger der rechten Hand (Rechte-Hand-Regel).

Der Betrag von $\vec{a}\times\vec{b}$ gibt den Flächeninhalt des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms an. Ausgedrückt durch den von $\vec a$ und $\vec b$ eingeschlossenen Winkel θ gilt

$|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\, |\vec{b}|\, \sin\theta \,.$

Dabei bezeichnen $\vert\vec{a}\vert$ und $\vert\vec{b}\vert$ die Längen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$, und $\sin \theta\,$ ist der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels θ.

Zusammenfassend gilt also

$\vec{a}\times\vec{b} = (|\vec{a}|\, |\vec{b}|\, \sin\theta) \, \vec{n}\,,$

wobei der Vektor $\vec{n}$ derjenige zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrechte Einheitsvektor ist, der diese zu einem Rechtssystem ergänzt.

Begriff und Schreibweisen

In verschiedenen Ländern sind für das Vektorprodukt zum Teil verschiedene Schreibweisen gebräuchlich. Im englisch- und deutschsprachigen Raum wird für das Vektorprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ für gewöhnlich die Schreibweise $\vec{a}\times\vec{b}$ verwendet, in Frankreich wird dagegen die Schreibweise $\vec{a}\wedge\vec{b}$ bevorzugt. In Russland wird das Vektorprodukt oft in der Schreibweise $\left[\vec{a}\ \vec{b}\right]$ oder $\left[\vec{a},\vec{b}\right]$ notiert.

Die Schreibweise $\vec{a}\wedge\vec{b}$ und die Bezeichnung äußeres Produkt werden nicht nur für das Vektorprodukt verwendet, sondern auch für die Verknüpfung, die zwei Vektoren einen sogenannten Bivektor zuordnet, siehe Graßmann-Algebra.

Komponentenweise Berechnung

In rechtshändigen kartesischen Koordinaten bzw. im reellen Koordinatenraum $\R^3$ mit dem Standardskalarprodukt und der Standardorientierung gilt für das Kreuzprodukt:

$\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}\,.$

Ein Zahlenbeispiel:

$\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 \\ 3 \cdot (-7) - 1 \cdot 9 \\ 1 \cdot 8 - 2 \cdot (-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -30 \\ 22 \end{pmatrix}\,.$

Eine Merkregel für diese Formel beruht auf einer „symbolischen Determinantenschreibweise“. Dabei notiert man eine $(3 \times 3)$-Matrix, in deren erster Spalte die Symbole $\vec e_1$, $\vec e_2$ und $\vec e_3$ für die Standardbasis stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors $\vec a$ und die dritte von denen des Vektors $\vec b$ gebildet. Diese Determinante berechnet man nach den üblichen Regeln, zum Beispiel indem man sie nach der ersten Spalte entwickelt

$\begin{align} \vec a \times \vec b &=\det \begin{pmatrix}\vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\end{pmatrix}\\ &= \vec e_1 \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} - \vec e_2 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} + \vec e_3 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \\ &= (a_2 \,b_3 - a_3 \, b_2) \, \vec e_1 + (a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3) \, \vec e_2 + (a_1 \, b_2 - \, a_2 \, b_1) \, \vec e_3 \,, \end{align}$

oder mit Hilfe der Regel von Sarrus:

$\begin{align} \vec a \times \vec b &= \det \begin{pmatrix}\vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\end{pmatrix}\\ &= \vec e_1 \cdot a_2 \cdot b_3 + a_1 \cdot b_2 \cdot \vec e_3 + b_1 \cdot \vec e_2 \cdot a_3 \\ &\quad - \vec e_3 \cdot a_2 \cdot b_1 - a_3 \cdot b_2 \cdot \vec e_1 - b_3 \cdot \vec e_2 \cdot a_1 \\ &= (a_2 \,b_3 - a_3 \, b_2) \, \vec e_1 + (a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3) \, \vec e_2 + (a_1 \, b_2 - \, a_2 \, b_1) \, \vec e_3 \,. \end{align}$

Mit dem Levi-Civita-Symbol ε_ijk schreiben sich die Komponenten als

$(\vec{a}\times\vec{b})_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k\,.$

Eigenschaften

Das Kreuzprodukt ist bilinear, für alle Zahlen α, β und γ und alle Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ gilt

$\vec{a}\times(\beta \,\vec{b} + \gamma\, \vec{c}) = \beta \,(\vec{a}\times\vec{b}) + \gamma \,(\vec{a}\times\vec{c})\,,\ (\alpha\,\vec{a} + \beta\,\vec{b})\times\vec{c} = \alpha\,(\vec{a}\times\vec{c}) + \beta \,(\vec{b}\times\vec{c})\,.$

Da die Fläche jedes Parallelogramms, das ein Vektor mit sich selbst aufspannt, verschwindet

$\vec{a}\times\vec{a} = 0\,,$

ist das Kreuzprodukt antisymmetrisch,

$0= (\vec{a} + \vec{b})\times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a}\times\vec{a} + \vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{a} + \vec{b}\times\vec{b} = 0 + \vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{a} + 0 \,,$

$\vec{a}\times\vec{b} = -\, \vec{b}\times\vec{a}\,.$

Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ oder schiefsymmetrisch.

Für jeden Vektor $\vec v$ gilt

$\vec v \cdot (\vec a \times \vec b) = \operatorname{det} (\vec v, \vec a, \vec b)$,

wobei der Malpunkt das Skalarprodukt bezeichnet. Durch diese Bedingung ist das Kreuzprodukt eindeutig bestimmt.

Doppeltes Kreuzprodukt

Graßmann-Identität

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ. Die Graßmann-Identität (nach Hermann Graßmann), auch Graßmannscher Entwicklungssatz genannt, für das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren lautet

$\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \vec{b}\,\left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)-\vec{c}\,\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)\,.$

Sie heißt auch BAC-CAB-Formel, wobei der Name das Ergebnis ausspricht.

Jacobi-Identität

Außerdem gilt die Jacobi-Identität, dass die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte verschwindet:

$\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) +\vec{b}\times \left(\vec{c}\times\vec{a}\right) +\vec{c}\times \left(\vec{a}\times\vec{b}\right) = 0$

Doppeltes Kreuzprodukt mit Nabla-Operatoren

Ist $\mathbf{B}$ der Nabla-Operator, so lässt sich der Graßmann'sche Entwicklungssatz nicht einfach übertragen, da Nabla stets nach rechts auf $\mathbf{C}$ wirkt (Notation im Folgenden: $\nabla_{\mathbf{C}}$ differenziert nur die Komponenten des Vektors $\mathbf{C}$ und $\nabla\mathbf{C}$ ist der Vektorgradient, also die Jacobi-Matrix von $\mathbf{C}$):

$\begin{align} \mathbf{A}\times\left(\nabla\times\mathbf{C}\right) & = \nabla_{\mathbf{C}}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{C} \\& = (\nabla\mathbf{C})\cdot\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{C} \\& = (\operatorname{grad}\,\mathbf{C})\cdot\mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot\operatorname{grad}\,\mathbf{C} \end{align}$

Daher gilt, falls $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Nabla-Operator und $\mathbf{C}$ ein Vektorfeld ist, in der Form:

$\begin{align} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{C}) & = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{C})-(\nabla\cdot\nabla)\mathbf{C}\\ & = \operatorname{grad}\,(\operatorname{div}\,\mathbf{C})-(\operatorname{div}\cdot\operatorname{grad})\mathbf{C}\\ & = \operatorname{grad}\,(\operatorname{div}\,\mathbf{C})-\Delta\,\mathbf{C} \end{align}$

Für die Rotation des Kreuzprodukts zweier Vektorfelder $\mathbf B$ und $\mathbf C$ gilt hingegen:

$\begin{align} \nabla\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) & = \mathbf{B}\,(\nabla\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}\,(\nabla\cdot\mathbf{B})+(\mathbf{C}\cdot\nabla)\mathbf{B}-(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{C}\\ & = \mathbf{B}\,(\operatorname{div}\,\mathbf{C})-\mathbf{C}\,(\operatorname{div}\,\mathbf{B})+(\mathbf{C}\cdot\operatorname{grad})\mathbf{B}-(\mathbf{B}\cdot\operatorname{grad})\mathbf{C} \end{align}$

Die zusätzlichen Terme entstehen, weil die Ableitung eines Produktes nach der Produktregel zwei Terme ergibt.

Lagrange-Identität

Für das Skalarprodukt von zwei Kreuzprodukten gilt

$\begin{align} (\vec{a}\times\vec{b}) \cdot (\vec{c}\times\vec{d}) &= (\vec{a}\cdot\vec{c}) (\vec{b}\cdot\vec{d}) - (\vec{b}\cdot\vec{c}) (\vec{a}\cdot\vec{d})\\ &= \begin{vmatrix}(\vec{a}\cdot\vec{c}) & (\vec{a}\cdot\vec{d}) \\ (\vec{b}\cdot\vec{c}) & (\vec{b}\cdot\vec{d}) \end{vmatrix}. \end{align}$

Für das Quadrat der Norm erhält man hieraus

$|\vec{a}\times\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 \, |\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2 = |\vec{a}|^ 2|\vec{b}|^ 2(1-\cos^ 2 \theta),$

also ist der Betrag des Kreuzproduktes

$|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}| \, |\vec{b}|\, \sin \theta\,.$

Da θ, der Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec b$, immer zwischen 0° und 180° liegt, ist $\sin \theta \ge 0.$

Spatprodukt

Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist eine Zahl, die dem orientierten Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds) entspricht.

Zusammenhang mit Lie-Algebra

Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Körper K für den K-Vektorraum K³ definieren. Dieser bildet dann mit dem Kreuzprodukt eine Lie-Algebra.

Polare und axiale Vektoren

Bei der Anwendung des Kreuzprodukts auf vektorielle physikalische Größen spielt die Unterscheidung in polare Vektoren (das sind solche, die sich wie Differenzen zweier Ortsvektoren verhalten, zum Beispiel Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, elektrische Feldstärke) und axiale Vektoren (die sich wie Drehachsen verhalten, zum Beispiel Winkelgeschwindigkeit, Drehmoment, Drehimpuls, magnetische Flussdichte) eine Rolle. Polaren Vektoren ordnet man die Signatur (oder Parität) +1 zu, axialen Vektoren die Signatur -1.

Bei der vektoriellen Multiplikation mit einem polaren Vektor $\vec b$ wechseln Vektoren ihre Signatur: Ist $\vec a$ ein polarer Vektor, so ist $\vec a\times\vec b$ ein axialer; ist $\vec a$ ein axialer Vektor, so ist $\vec a\times\vec b$ ein polarer. Bei der vektoriellen Multiplikation mit einem axialen Vektor bleibt dagegen die Signatur erhalten.

Kreuzprodukt im $\mathbb{R}^n$

Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Dimension $n \ge 2$ auf den $\mathbb{R}^n$ verallgemeinern. Dabei ist das Kreuzprodukt im $\mathbb{R}^n$ kein Produkt von zwei Faktoren, sondern von n − 1 Faktoren.

Das Kreuzprodukt $\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}$ der Vektoren $\vec a_1, \dots , \vec a_{n-1} \in \R^n$ ist dadurch charakterisiert, dass für jeden Vektor $\vec v \in \R^n$ gilt

$\vec v \cdot (\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}) = \operatorname{det} (\vec v, \vec a_1, \dots, \vec a_{n-1}).$

In Koordinaten lässt sich das Kreuzprodukt im $\R^n$ wie folgt berechnen. Es sei $\vec e_i$ der zugehörige i-te kanonische Einheitsvektor. Für n − 1 Vektoren

$\vec a_1 = \begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1}\end{pmatrix}, \ \vec a_2 = \begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2}\end{pmatrix}, \ \dots, \ \vec a_{n-1} = \begin{pmatrix}a_{1\, (n-1)} \\ a_{2\, (n-1)} \\ \vdots \\ a_{n\, (n-1)}\end{pmatrix} \in \R^n$

gilt

$\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1} = \det \begin{pmatrix} \vec e_1 & a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} \\ \vec e_2 & a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vec e_n & a_{n1} & \dots & a_{n(n-1)} \end{pmatrix}= \begin{vmatrix} \vec e_1 & a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} \\ \vec e_2 & a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vec e_n & a_{n1} & \dots & a_{n(n-1)} \end{vmatrix},$

analog zu der oben erwähnten symbolischen Berechnung mit Hilfe einer Determinante.

Der Vektor $\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}$ ist orthogonal zu $\vec a_1,\vec a_2, ... , \vec a_{n-1}$. Die Orientierung ist so, dass die Vektoren $\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}, \vec a_1,\vec a_2, ... , \vec a_{n-1}$ in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Der Betrag von $\vec a_1 \times \vec a_2 \times \cdots \times \vec a_{n-1}$ ist gleich dem (n − 1)-dimensionalen Volumen des von $\vec a_1,\vec a_2, ... , \vec a_{n-1}$ aufgespannten Parallelotops.

Für n = 2 erhält man dabei kein Produkt, sondern nur eine lineare Abbildung

$\R^2 \to \R^2; \ \begin{pmatrix} a_1 \\a_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \end{pmatrix}$,

die Rotation um 90° im Uhrzeigersinn.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung führt auf die Graßmann-Algebren.

Weblinks

 Wiktionary: Kreuzprodukt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Java-Applet der Universität von Syracuse zum Vektor- oder Kreuzprodukt
• Kreuzprodukt-Rechner: Berechnet einfach das Kreuzprodukt von zwei Vektoren

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.