Approximationssatz von Runge

In der Funktionentheorie beschäftigt sich die Runge-Theorie mit der Frage, wann auf einem Teilgebiet holomorphe Funktionen durch auf einem größeren Gebiet holomorphe Funktionen approximiert werden können. Sie wurde wesentlich von Carl Runge entwickelt, der 1885 seinen Approximationssatz veröffentlichte.

Runge-Theorie für Kompakta

Für eine Menge $P \subset \mathbb{C}$ sei $\mathbb{C}_P[z]$ die $\mathbb{C}$-Algebra der rationalen Funktionen, die nur in P Polstellen aufweisen.

Der Runge'sche Approximationssatz für Kompakta besagt nun: Sei $K \subset \mathbb{C}$ ein Kompaktum. Trifft $P \subset \mathbb{C} \setminus K$ jede beschränkte Komponente von $\mathbb{C} \setminus K$, dann ist jede auf K holomorphe Funktion gleichmäßig durch Funktionen aus $\mathbb{C}_P[z]$ approximierbar.

Als wichtigen Spezialfall erhält man den Kleinen Satz von Runge: Wenn für ein Kompaktum $K \subset \mathbb{C}$ das Komplement einfach zusammenhängend ist, dann ist jede auf K holomorphe Funktion gleichmäßig durch Polynome approximierbar.

Runge-Theorie für Bereiche

Der Satz von Runge über rationale Approximation lautet: Sei $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ ein Bereich und $P \subset \mathbb{C} \setminus \Omega$ eine Menge, deren Abschluss $\overline{P}$ in $\mathbb{C}$ jedes Loch von Ω trifft. Dann liegt die Algebra $\mathbb{C}_P[z]$ dicht in der Algebra der holomorphen Funktionen $\mathcal{O}(\Omega)$. Als Loch wird hierbei eine kompakte Komponente von $\mathbb{C} \setminus \Omega$ bezeichnet.

Zwei Bereiche $\Omega \subseteq \Omega' \subseteq \mathbb{C}$ heißen Runge'sches Paar, wenn jede auf Ω holomorphe Funktion sich auf Kompakta gleichmäßig durch auf Ω' holomorphe Funktionen approximieren lässt. Aus obigem Approximationssatz folgt mit Hilfe des Satzes von Behnke-Stein schließlich die Charakterisierung:

$\Omega \subseteq \Omega'$ bilden genau dann ein Runge'sches Paar, wenn $\Omega' \setminus \Omega$ keine kompakten Komponenten hat, also Ω relativ zu Ω' keine Löcher aufweist.

Anwendungen

• Der Satz von Mittag-Leffler lässt sich aus den Runge'schen Sätzen herleiten.
• Es existieren punktweise konvergente Polynomfolgen, die nicht auf allen Kompakta lokal gleichmäßig konvergieren.
• Die Einheitskreisscheibe lässt sich holomorph und eigentlich in $\mathbb{C}^3$ einbetten. (Tatsächlich sogar in $\mathbb{C}^2$, was aber nicht direkt aus den Runge'schen Sätzen folgt.)
• Jedes Gebiet von $\mathbb{C}$ ist ein Holomorphiegebiet, d. h. zu jedem Gebiet gibt es eine darauf definierte holomorphe Funktion, die sich nicht holomorph über dieses Gebiet hinaus ausdehnen lässt.

Verallgemeinerungen

• auf Riemannsche Flächen, durch Behnke und Stein 1948^[1]
• Satz von Mergelyan, durch Mergelyan 1951^[2]; behandelt zusätzlich u. a. das Problem mit stetiger Fortsetzung auf den Rand

Literatur

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3

1. ↑ H. Behnke, K. Stein: Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen. Math. Ann. Vol. 120 (1947–1949), S. 430–461
2. ↑ S. N. Mergelyan: Uniform approximation to functions of a complex variable, Amer. Math. Soc. Translation No. 101