Approximationssatz von Dirichlet

Der dirichletsche Approximationssatz ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Er besagt, dass es zu jeder reellen Zahl α und jeder positiven ganzen Zahl N eine ganze Zahl q mit $1 \leq q \leq N$ gibt, sodass der Abstand von qα zur nächsten ganzen Zahl höchsten gleich 1 / (N + 1) ist. In mathematischer Schreibweise: Zu $\alpha \in \mathbb{R}$ existieren ein $q \in \mathbb{Z}, 1 \leq q \leq N$ und ein $p \in \mathbb{Z}$, sodass

$\left| q \alpha - p \right| < \frac{1}{N+1}.$

Bewiesen wird dieser nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte Satz mithilfe des Schubfachprinzips.

Als Schlussfolgerung daraus ersieht man, dass es zu jedem reellen α unendlich viele Paare (p,q) positiver ganzer Zahlen gibt, die

$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}$

erfüllen. Dass diese Abschätzung nicht beliebig verbessert werden kann, besagt der (ungleich komplizierter zu beweisende) Satz von Thue-Siegel-Roth.

Beispiel: Sei $\alpha = \sqrt{2}$, und N = 10. Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz eine der Zahlen $\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \dots, 10 \sqrt{2}$ um höchstens 1 / 11 von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist

$\left| 5 \sqrt{2} - 7 \right| = \left| 7,07106... - 7 \right| = 0.07106... \leq 0.090909... = \frac{1}{11}.$