Approximationssatz von Dirichlet
- Approximationssatz von Dirichlet
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Der dirichletsche Approximationssatz ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Er besagt, dass es zu jeder reellen Zahl α und jeder positiven ganzen Zahl N eine ganze Zahl q mit
gibt, sodass der Abstand von qα zur nächsten ganzen Zahl höchsten gleich 1 / (N + 1) ist. In mathematischer Schreibweise: Zu
existieren ein
und ein
, sodass
![\left| q \alpha - p \right| < \frac{1}{N+1}.](/pictures/dewiki/100/dec2ff9482ac0fa08c92addc7ad2c554.png)
Bewiesen wird dieser nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte Satz mithilfe des Schubfachprinzips.
Als Schlussfolgerung daraus ersieht man, dass es zu jedem reellen α unendlich viele Paare (p,q) positiver ganzer Zahlen gibt, die
![\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}](/pictures/dewiki/101/e08a3b977a0b664425a011858bab0a74.png)
erfüllen. Dass diese Abschätzung nicht beliebig verbessert werden kann, besagt der (ungleich komplizierter zu beweisende) Satz von Thue-Siegel-Roth.
Beispiel: Sei
, und N = 10. Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz eine der Zahlen
um höchstens 1 / 11 von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist
![\left| 5 \sqrt{2} - 7 \right| = \left| 7,07106... - 7 \right| = 0.07106... \leq 0.090909... = \frac{1}{11}.](/pictures/dewiki/52/42498572e2e8da68744f85fb725b1121.png)
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