Matrixpotenz

In der linearen Algebra bezeichnet die Matrixpotenz das Ergebnis einer wiederholten Matrixmultiplikation.

Ist A eine quadratische Matrix, so ist

• A⁰ = E
• $\forall n\in\mathbb{N}\quad A^{n+1} = A^n\cdot A$.

Es gelten die Potenzgesetze

• $\forall n,m \in \mathbb{N}\quad A^{n+m} = A^n\cdot A^m$,
• $\forall n,m \in\mathbb{N}\quad A^{n\cdot m} = \left(A^n\right)^m$.

Verallgemeinerungen

Negative Exponenten

Die Schreibweise A ^{− 1} ist bereits für die inverse Matrix geläufig und kann auch als Matrixpotenz interpretiert werden. Für reguläre Matrizen gilt

• $\forall n\in\mathbb{N}\quad A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n$.

Gebrochene Exponenten

Die Matrixpotenz lässt sich auf die Potenz von reellen Zahlen reduzieren. Lässt sich die Matrix A diagonalisieren, existieren also eine reguläre Matrix T und eine Diagonalmatrix D mit $A = T\cdot D\cdot T^{-1}$ (d.h. A ist ähnlich zu D), so gilt

$A^n = T\cdot D^n\cdot T^{-1}\ .$

Die Potenz einer Diagonalmatrix erhält man durch Potenzieren der Diagonalelemente. Sind die Diagonalelemente (also die Eigenwerte von A) von D positiv (d.h. A ist positiv definit wenn A zusätzlich symmetrisch ist!), so bleiben obige Potenzgesetze auch für gebrochene Exponenten gültig.

Wenn sich eine Matrix nicht diagonalisieren lässt, so findet man eine sinnvolle Verallgemeinerung der Matrixpotenz über die binomische Reihe. Eine schnelle Berechnungsmethode für diese Verallgemeinerung erhält man über die Jordansche Normalform.

Anwendungen

• Stereobasisverbreiterung

Siehe auch

• Matrixexponential