Binomische Reihe

Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

$(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k$

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist α ganzzahlig und $\alpha\ge 0$, so bricht die Reihe nach dem Glied k = α ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges α und für α < 0 liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von (1 + x)^α mit Entwicklungspunkt 0.

Geschichte

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form (a + b)ⁿ kann heute Omar Alchaijama aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckte im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl α und alle reellen x im Intervall $\left]-1,1\right[$ das Binom (1 + x)^α darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe $\alpha, x\in\Bbb C$; er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls $\alpha\in\Bbb C\setminus\Bbb N$ gilt.

Verhalten am Rand des Konvergenzkreises

Es sei | x | = 1 und $\alpha\in\Bbb{C}\setminus\Bbb{N}$.

• Die Reihe $\textstyle \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k$ konvergiert genau dann absolut wenn Re(α) > 0 oder α = 0 ist. [Re(α) = Realteil von α]
• Für alle $x\neq -1$ auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann, wenn Re(α) > − 1 ist.
• Für x = − 1 konvergiert die Reihe genau dann, wenn Re(α) > 0 oder α = 0 ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man α = − 1 und ersetzt x durch − x so erhält man

$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty {-1\choose k} (-x)^k\,.$

Da $\tbinom{-1}{k}=(-1)^k$ ist, lässt sich diese Reihe auch schreiben als $\textstyle \sum_{k=0}^\infty x^k$. Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

• $(1+x)^2 = \binom{2}{0} x^0 + \binom{2}{1} x^1 + \binom{2}{2} x^2 = 1 + 2x + x^2$
  (ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)
• $\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \binom{-1}{k} x^k = \sum_{k=0}^\infty (-x)^k$
• $\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} = \sum_{k=0}^\infty \binom{1/2}{k} x^k$

Quellen

• Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2.