Mehrstufige Zufallsstichprobe

Eine Zufallsstichprobe (auch Wahrscheinlichkeitsauswahl) ist ein spezielles Auswahlverfahren. Bei einem Zufallsauswahlverfahren (auch Wahrscheinlichkeitsauswahl, Zufalls-Stichprobe, Zufallsauswahl, Random-Sample) hat jedes Element der Grundgesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit (größer Null), in die Stichprobe zu gelangen. Das erfordert die vorherige Erstellung eines Gesamtverzeichnisses aller Elemente der Grundgesamtheit. Man unterscheidet einstufige und mehrstufige Zufallsauswahlverfahren. Nur bei Zufallsauswahlen sind streng genommen die Methoden der induktiven Statistik anwendbar.

Mathematische Definition

Eine Stichprobe ist

1. ein Vektor (x₁,x₂,...,x_n), wobei jedes x_i die Realisierung einer Zufallsvariablen X_i ist. Die Zufallsvariablen X₁,X₂,...,X_n sind unabhängig, besitzen alle die gleiche Verteilungsfunktion und sind über denselben Wahrscheinlichkeitsraum definiert. Für alle X_i existiert der Erwartungswert E(X_i).
2. eine Teilmenge einer Grundgesamtheit, die gemäß einem Stichprobenplan zufällig ausgewählt worden ist.

Einstufige Zufalls-Stichproben

Siehe den Hauptartikel Urnenmodell

Reine (oder einfache) Zufalls-Stichprobe (Simple Random Sample): Die Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu geraten, ist für jedes Element gleich. Ein Urnenmodell beschreibt ein hypothetisches Experiment. Dazu wird ein fiktives Gefäß mit Kugeln gefüllt, welche anschließend zufällig gezogen werden. Durch ein Urnenmodell lassen sich so verschiedene Zufallsexperimente, etwa eine Lottoziehung, simulieren.

Mehrstufige Zufallsauswahl (auch Komplexe Zufallsauswahl)

Insbesondere sind folgende Auswahlverfahren von Bedeutung, wobei die ersten beiden als Zweistufige Auswahlverfahren bezeichnet werden:

• Geschichtete Zufallsstichprobe (stratified sample): Die Elemente werden nach einem bestimmten Merkmal in Gruppen (Untermengen) eingeordnet. Innerhalb jeder dieser Gruppen wird dann eine reine Zufalls-Stichprobe gezogen. Hier wird auf mindestens 2 Ebenen gezogen. Beispielsweise werden auf der ersten Stufe Schulklassen nach einem vorher festgelegten Verfahren gezogen. Danach werden auf der zweiten Stufe die Untersuchungsgegenstände (hier Schüler) gezogen. Als Verfahren kommt die reine Zufalls-Stichprobe als auch gewichtete Verfahren in Frage.
• Klumpen-Stichprobe (cluster sample): Zuerst wird eine (relativ kleine) reine Zufalls-Stichprobe gezogen. Danach werden die in den gezogenen Elementen enthaltenen Elemente komplett in die Stichprobe aufgenommen. Ein klassisches Beispiel ist die Befragung ganzer Häuserblocks oder von Schulklassen. Zuerst werden die zu befragenden Schulklassen per Zufallsauswahl bestimmt. Dann werden alle in den Schulklassen enthaltenen Schüler befragt. Bei der Klumpenstichprobe tritt der sogenannte Klumpeneffekt auf. Er ist um so größer, je heterogener die Gruppen untereinander sind.
• Gestufte Zufallsstichprobe (staged sample): Sie wird häufig aus Gründen der Kostensenkung und Zeitersparnis der Schichtung vorgezogen. Ebenfalls empfiehlt sich die Stufung, wenn eine Auflistung aller Fälle (Untersuchungsgegenstände, Merkmale etc.) der Grundgesamtheit nicht existiert und sich deshalb eine einfach Zufallsstichprobe nicht durchführen lässt (z. B. eine Untersuchung anhand von Texten. Da noch nicht alle Texte elektronisch erfasst bzw. verfügbar sind, entstehen durch das Aufsuchen der jeweiligen Archive hohe Kosten. Durch eine Stufung kann dies vermieden werden). Im wesentlichen orientiert sich das Vorgehen der Stufung an der Schichtung, indem man:

• 1. Stufungskriterien (Merkmale) bestimmt,
• 2. die Grundgesamtheit nach diesen Merkmalen in einander ausschließende Teilgesamtheiten (Primäreinheiten) aufteilt,
• 3. nun eine zufällige Auswahl der Teilgesamtheiten trifft und sich auf eine bestimmte Anzahl von Primäreinheiten begrenzt, die man untersucht. Die restlichen Teilgesamtheiten werden ignoriert.
• 4. aus den zufällig ausgewählten Primäreinheiten ermittelt man nun die Zufallsstichprobe der Merkmalsträger (Objekte, Individuen, Fälle). Ein Institut will bspw. 500 Personen nach ihrem Konsumverhalten befragen. In Schritt 2 wurde die Grundgesamtheit, z. B. aufgrund geographischer Merkmale, in Ost-, Nord-, Süd- und Westdeutschland aufgeteilt. In Schritt 3 wurde festgelegt, dass das Konsumverhalten in ost- und süddeutschen Supermärkten (Sekundäreinheiten) im Mittelpunkt der Untersuchung steht, sodass in jeder der beiden Regionen 250 Leute (Tertiäreinheiten) befragt werden.
• 5. die Teilgesamtheiten (der beiden untersuchten Regionen) werden nun zu einer Gesamtstichprobe zusammengefügt.

• Random-Route Verfahren

Anwendungsmodelle

• ADM-Design als Kombination von Schichtung und Stufung

Literatur

• Behnke, Joachim u. a.: Empirische Methoden der Politikwissenschaft, UTB, Schöningh, Paderborn 2006, ISBN 3-506-99002-0

Siehe auch

• Auswahlsatz
• Designeffekt
• EPSEM
• Random-Route
• Schwedenschlüssel