Mehrwertige Abhängigkeit

Eine mehrwertige Abhängigkeit (engl. multivalued dependency (MVD)) $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ beschreibt die Abhängigkeit einer Menge von Attributwerten β von einem Attributwert α. Mehrwertige Abhängigkeiten sind trivial, falls außer α und β keine weiteren Attribute im Relationenschema vorkommen.

Im Folgenden bedeutet t[α]: alle Attribute (Spalten) α des Tupels (Zeile) t
Eine mehrwertige Abhängigkeit $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ zwischen Attributen einer Relation R liegt vor, wenn gilt:
Für zwei Tupel $t_1 \neq t_2$ mit t₁[α] = t₂[α] existieren in jeder zulässigen Instanz von R stets zwei weitere Tupel $t_3 \neq t_4$ mit:

$\begin{matrix} t_1[\alpha]=t_2[\alpha]=t_3[\alpha]=t_4[\alpha] \\ t_1[\beta] = t_3[\beta]\\ t_2[\beta] = t_4[\beta]\\ t_1[R- \alpha - \beta]=t_4[R- \alpha - \beta]\\ t_2[R- \alpha - \beta]=t_3[R- \alpha - \beta] \end{matrix}$

Anschaulich:
$\begin{matrix} Tupel & \alpha & \beta & R- \alpha - \beta \\ t_1 & a_1 .. a_n & b_1 .. b_m & d_1 .. d_k \\ t_2 & a_1 .. a_n & c_1 .. c_m & e_1 .. e_k \\ t_3 & a_1 .. a_n & b_1 .. b_m & e_1 .. e_k \\ t_4 & a_1 .. a_n & c_1 .. c_m & d_1 .. d_k \end{matrix}$

Mehrwertige Abhängigkeiten sind trivial, falls $\beta \subseteq \alpha$ oder $\alpha \cup \beta = R$.

Hüllenbildung

Im Zusammenhang mit der Normalisierung von Datenbanken wird oftmals die Menge aller von mehrwertigen Abhängigkeiten implizierten Abhängigkeiten benötigt. Ausgangspunkt ist die Menge D bestehend aus funktionalen Abhängigkeiten FD und mehrwertigen Abhängigkeiten MVD. Ziel ist die Bestimmung der Hülle D ⁺ . Analog zu den Armstrong-Axiomen zur Erweiterung der funktionalen Abhängigkeiten werden hier nachfolgende Axiome angewendet:

1. Reflexivität, Erweiterung und Transitivität für funktionale Abhängigkeiten
2. Wiederholung: Falls $\alpha \rightarrow \beta$, dann auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta$
3. Komplement: Zu jedem $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ existiert auch $\alpha \twoheadrightarrow R- \alpha - \beta$
4. Mehrwertige Erweiterung: Gelte $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und sei $\gamma \subseteq R$ sowie $\delta \subseteq \gamma$, dann gilt auch $\alpha \gamma \twoheadrightarrow \beta \delta$
5. Mehrwertige Transitivität: Gilt $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\beta \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \gamma - \beta$
6. Verschmelzung: Gilt $\alpha \twoheadrightarrow \beta$, $\gamma \subseteq \beta$ und existiert ein δ mit $\delta \subseteq R$, $\gamma \cap \delta = \varnothing$ und $\delta \rightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$

Auch hier helfen einige weitere abgeleitete Regeln:

1. Mehrwertige Vereinigung: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta \gamma$
2. Durchschnitt: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta \cap \gamma$
3. Differenz: Wenn $\alpha \twoheadrightarrow \beta$ und $\alpha \twoheadrightarrow \gamma$, dann gilt auch $\alpha \twoheadrightarrow \beta - \gamma$ bzw. $\alpha \twoheadrightarrow \gamma - \beta$