Mehrwertige Logik

Mehrwertige Logik ist ein Oberbegriff für alle logischen Systeme, die mehr als zwei Wahrheitswerte verwenden.

Ausgangspunkt für die Entwicklung mehrwertiger Logiken war die erkenntnistheoretische Frage, ob dem Prinzip der Zweiwertigkeit außerlogische Wahrheit zukommt. Für Aussagen über die Zukunft stellt bereits Aristoteles diese Frage, indem er argumentiert, dass die Wahrheit einer Aussage wie „Morgen wird eine Seeschlacht stattfinden“ erst am Abend des morgigen Tages feststehen wird und dass sie bis zu diesem Zeitpunkt noch als unbestimmt und damit als kontingent möglich betrachtet werden muss.^[1]

Die erste im modernen Sinn formalisierte mehrwertige Logik ist die im Jahre 1920 von Jan Łukasiewicz vorgestellte dreiwertige Logik L₃. Ihre drei Wahrheitswerte interpretiert Łukasiewicz unter Berufung auf das Seeschlacht-Beispiel des Aristoteles als „wahr“, „falsch“ und – für zukünftige Aussagen, deren Wahrheit noch nicht feststeht – „(kontingent) möglich“.

In neuerer Zeit haben mehrwertige Logiken im Bereich der Informatik hohe praktische Bedeutung gewonnen. Sie ermöglichen den Umgang mit der Tatsache, dass Datenbanken nicht nur eindeutig bestimmte, sondern auch unbestimmte, fehlende oder sogar widersprüchliche Informationen enthalten können.

Grundlagen mehrwertiger Logik

Während mehrwertige Logik mit dem Prinzip der Zweiwertigkeit eines der beiden Grundprinzipien der klassischen Logik aufgibt, behält sie deren anderes Grundprinzip, das Extensionalitätsprinzip, bei: Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten Aussage ist weiterhin eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt.^[2]

Im Gegensatz zur klassischen Logik ist die Deutung der Wahrheitswerte bei mehrwertigen Logiken weniger natürlich vorgegeben und sind zahlreiche unterschiedliche Interpretationen vorgeschlagen worden. Aus diesem Grund und weil viele Deutungen die mehr als zwei Werte nicht als Abstufungen oder Arten von Wahrheit und Falschheit ansehen, sondern zum Beispiel epistemisch als Abstufung von Erkenntnis oder Gewissheit (zum Beispiel mit den drei Werten „als wahr bekannt“, „unbekannt“ und „als falsch bekannt“), werden die Werte mehrwertiger Logik häufig nicht als Wahrheitswerte, sondern als Pseudowahrheitswerte oder als Quasiwahrheitswerte bezeichnet. Aus Gründen der Kompaktheit verwendet dieser Artikel dennoch durchgehend die Bezeichnung „Wahrheitswert“.

Neben dem Problem der Deutung der Wahrheitswerte stellen sich beim Umgang mit mehrwertiger Logik zahlreiche Aufgaben technischer Natur und ergeben sich weitere Deutungsprobleme: Grundlegende Begriffe wie jener der Tautologie, jener der Kontradiktion oder jener der Folgerung müssen neu definiert und gedeutet werden.

Tautologien und designierte Wahrheitswerte

In der klassischen Logik sind Tautologien definiert als Aussagen, die immer (das heißt ungeachtet dessen, wie die in ihnen auftretenden atomaren Aussagen bewertet werden) wahr sind. Um den Begriff „Tautologie“ für die mehrwertige Logik nutzbar zu machen, muss man einen oder mehrere der Pseudowahrheitswerte auszeichnen. Der Begriff „Tautologie“ lässt sich dann an die mehrwertige Logik anpassen, indem man all jene Aussagen als Tautologien bezeichnet, die stets, das heißt unter jeder Bewertung, einen der ausgezeichneten Wahrheitswerte annehmen. Diese ausgezeichneten Wahrheitswerte nennt man auch designierte Wahrheitswerte.^[3]

Kontradiktion und negativ designierte Wahrheitswerte

Will man den Begriff „Kontradiktion“ auf die mehrwertige Logik ausdehnen, so hat man dazu zwei Möglichkeiten: Man kann einerseits einen oder mehrere der Wahrheitswerte negativ hervorheben und dann all jene Aussagen als Kontradiktionen bezeichnet, die immer – das heißt unter jeder Bewertung – einen negativ designierten Wahrheitswert liefern. Andererseits kann man eine Aussage als Kontradiktion bezeichnen, deren Negation eine Tautologie ist – vorausgesetzt, es steht eine geeignete Negation zur Verfügung und es ist geklärt, welche der mehrwertigen Negationen für diesen Zweck geeignet ist.

Folgerung

Mit Hilfe des Konzepts der designierten Wahrheitswerte lässt sich der Folgerungsbegriff analog zu jenem der klassischen Logik leicht auf mehrwertige Logik ausdehnen: Ein Argument ist demnach genau dann gültig, wenn unter allen Bewertungen, unter denen alle Prämissen des Arguments designierte Wahrheitswerte annehmen, auch seine Konklusion einen designierten Wahrheitswert annimmt.

Systeme mehrwertiger Aussagenlogik

Kleene-Logik K₃

Die Kleene-Logik K₃ enthält drei Wahrheitswerte, nämlich 1 für „wahr“, 0 für „falsch“ und $\tfrac 1 2$, das hier auch als i bezeichnet wird und für „weder wahr noch falsch“ steht. Kleene definiert die Negation $f\neg$, Konjunktion $f\wedge$, Disjunktion $f\vee$ und Implikation $f\rightarrow$ durch folgende Wahrheitswertfunktionen:

$\begin{array}{|c || c|} f\neg & \\ \hline 1 & 0 \\ i & i \\ 0 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{|c || c|c|c|} f\wedge & 1 & i & 0\\ \hline 1 & 1 & i & 0\\ i & i & i & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \quad \begin{array}{|c || c|c|c|} f\vee & 1 & i & 0\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1\\ i & 1 & i & i\\ 0 & 1 & i & 0\\ \end{array} \quad \begin{array}{|c || c|c|c|} f\rightarrow & 1 & i & 0\\ \hline 1 & 1 & i & 0\\ i & 1 & i & i\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ \end{array}$

Damit bildet – wie auch zum Beispiel bei Łukasiewiczs dreiwertiger Logik L₃, siehe dort – die Disjunktion das Maximum und die Konjunktion das Minimum der verknüpften Wahrheitswerte und errechnet sich die Negation einer Aussage mit Wahrheitswert v als 1-v.

Betrachtet man 1 als einzigen designierten Wahrheitswert, dann gibt es in K₃ keinerlei Tautologien; betrachtet man sowohl ¹⁄₂ als auch 1 als designiert, dann ist die Menge der Tautologien in K₃ identisch mit der Menge der klassischen, zweiwertigen Aussagenlogik.^[4]

Gödel-Logiken G_k und $G_\infty$

Gödel definiert 1932^[5] eine Familie mehrwertiger Logiken G_k mit endlich vielen Wahrheitswerten $0, \tfrac 1 {k-1}, \tfrac 2 {k-1}, \ldots \tfrac {k-2} {k-1}, 1$, sodass zum Beispiel G₃ die Wahrheitswerte $0, \tfrac 1 2, 1$ und G₄ die Wahrheitswerte $0, \tfrac 1 3, \tfrac 2 3, 1$ umfasst. Analog definiert er eine Logik mit unendlich vielen Wahrheitswerten, $G_\infty$, bei der als Wahrheitswerte die reellen Zahlen im Intervall von 0 bis 1 verwendet werden. Designierter Wahrheitswert ist bei jeder dieser Logiken 1.

Die Konjunktion $\wedge$ und die Disjunktion $\vee$ definiert er als die Maxima und Minima der Formelwahrheitswerte:

• $u\wedge v:= min\{u,v\}$
• $u\vee v:= max\{u,v\}$

Die Negation ∼ und Implikation $\rightarrow _G$ werden durch folgende Wahrheitswertfunktionen definiert:

• $\sim u=\begin{cases} 1, & \text{wenn }u=0\\ 0, & \text{wenn }u>0 \end{cases}$

$u\rightarrow _G v=\begin{cases} 1, & \text{wenn }u\leq v\\ 0, & \text{wenn }u>v \end{cases}$

Die Gödelschen Systeme sind vollständig axiomatisierbar, d. h. es lassen sich Kalküle aufstellen, in denen alle Tautologien des jeweiligen Systems herleitbar sind.

Łukasiewicz-Logiken L_v

Die Implikation $\rightarrow _L$ und die Negation $\neg$ definiert Jan Łukasiewicz durch folgende Wahrheitswertfunktionen:

• $\neg u:=1-u$
• $u\rightarrow _L v:=min\{1,1-u+v\}$

Als erstes entwickelt Łukasiewicz nach diesem Schema 1920 seine dreiwertige Logik, das System L₃, mit den Wahrheitswerten $0, \tfrac 1 2, 1$ und designiertem Wahrheitswert 1. 1922 folgt seine unendlichwertige Logik $L_\infty$, in der er die Menge der Wahrheitswerte auf das Intervall der reellen Zahlen von 0 bis 1 erweitert. Designierter Wahrheitswert ist in beiden Fällen 1.^[6]

Verallgemeinert zu L_v zerfallen die Łukasiewiczen Logiken in die endlichwertigen Systeme L_n (Wahrheitswertmenge wie bei Gödel $0, \tfrac 1 {n-1}, \tfrac 2 {n-1}, \ldots, \tfrac {n-2} {n-1}, 1$), in das bereits angesprochene $L_\infty$ und in $L_{\aleph_0}$, bei der als Wahrheitswerte die rationalen Zahlen (d. h. Brüche) im Intervall von 0 bis 1 verwendet werden. Die Menge der Tautologien, das heißt der Aussagen mit designiertem Wahrheitswert, ist bei $L_\infty$ und $L_{\aleph_0}$ identisch.

Produktlogik Π

Die Produktlogik enthält eine Konjunktion $\odot$ und eine Implikation $\rightarrow _{\Pi}$, die folgendermaßen definiert werden:^[7]

• für $u,v\in [0,1]$: $u\odot v:=uv$
• $u\rightarrow _{\Pi}v:=\begin{cases} 1, & \text{wenn }u\leq v\\ \frac {v}{u}, & \text{wenn }u>v \end{cases}$

Zusätzlich enthält die Produktlogik eine Wahrheitswertkonstante $\overline{0}$, die den Wahrheitswert „falsch“ bezeichnet.

Mittels der zusätzlichen Konstanten können eine Negation ∼ und eine weitere Konjunktion $\wedge$ folgendermaßen definiert werden:

• $\sim\varphi:=\varphi\rightarrow _{\Pi}\overline{0}$
• $\varphi\wedge\psi:=\varphi\odot (\varphi\rightarrow _{\Pi}\psi)$

Post-Logiken P_m

Post definiert 1921 eine Familie von Logiken P_m mit (wie bei L_n und G_k) mit den Wahrheitswerten $0, \tfrac 1 {m-1}, \tfrac 2 {m-1}, \ldots, \tfrac {m-2} {m-1}, 1$. Negation ∼ und Disjunktion $\vee$ definiert Post folgendermaßen:

• $\sim u:=\begin{cases} 1, & \text{wenn }u=0\\ u-\frac {1}{m-1}, & \text{wenn }u\not= 0 \end{cases}$

• $u\vee v:=max\{u,v\}$

Vierwertige Logik von Belnap

Hauptartikel: Belnaps vierwertige Logik

Nuel Belnap entwickelte 1977 seine vierwertige Logik mit den Wahrheitswerten t (true, wahr), f (falsch), u (unbekannt) und b (beides, also einer widersprüchlichen Information).

Bočvar-Logik B₃

Die Bočvar-Logik (vor allem im englischen Sprachraum auch Bochvar-Logik) B₃ enthält zwei Klassen von Junktoren, nämlich die inneren Junktoren einerseits und die äußeren Junktoren andererseits. Die inneren Junktoren Negation $\neg$, Implikation $\rightarrow$, Disjunktion $\vee$, Konjunktion $\wedge$ und Bisubjunktion $\leftrightarrow$ entsprechen denen der klassischen Logik. Die äußeren Junktoren Negation $\neg *$, Implikation $\rightarrow *$, Disjunktion $\vee *$, Konjunktion $\wedge *$ und Bisubjunktion $\leftrightarrow *$ sind metasprachlicher Natur und sind die folgenden:

• $\neg *\varphi$ (φ ist falsch)
• $\varphi\rightarrow *\psi$ (ist φ wahr, so auch ψ)
• $\varphi\vee *\psi$ (φ ist wahr oder ψ ist wahr)
• $\varphi\wedge *\psi$ (φ ist wahr und ψ ist wahr)
• $\varphi\leftrightarrow *\psi$ (φ ist wahr gdw ψ ist wahr)

Die Wahrheitswertfunktionen entsprechen denen der Kleene Logik K₃.

Für die Definition der äußeren Junktoren wird ein weiterer einstelliger Junktor hinzugenommen, nämlich die externe Bestätigung A _* mit der Wahrheitswertfunktion

$\begin{array}{|c || c|} A_* & \\ \hline 1 & 0 \\ i & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}$

Damit lassen sich die äußeren Junktoren, wie folgt, definieren:

• $\neg *\varphi:=\neg A_*\varphi$
• $\varphi\vee *\psi:= A_*\varphi\vee A_*\psi$
• $\rightarrow\vee *\psi:= A_*\varphi\rightarrow A_*\psi$
• $\varphi\wedge *\psi:= A_*\varphi\wedge A_*\psi$
• $\varphi\leftrightarrow *\psi:= A_*\varphi\leftrightarrow A_*\psi$

Die Logik der äußeren Junktoren, welche eine Unterscheidung zwischen 0 und i trifft, entspricht exakt der klassischen Logik.

Fuzzy-Logik

In der Fuzzy-Set-Theorie, oft auch als Fuzzy-Logik bezeichnet, werden ebenfalls nicht eindeutige Aussagen behandelt. Ein Beispiel ist die Aussage "das Wetter ist sehr warm". Diese Aussage wird abhängig von der tatsächlichen Temperatur in unterschiedlichem Ausmaß zutreffen: bei 35 Grad mit Sicherheit, bei 25 Grad einigermaßen, bei 0 Grad auf keinen Fall. Die willkürlich festzulegenden Grade des Zutreffens werden durch eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 repräsentiert.

Die vorstehenden mehrwertigen Logiken behandeln einzelne Aussagen als atomar, kennen deren innere Struktur also gar nicht. Im Unterschied dazu behandelt die Fuzzy-Set-Theorie nur Aussagen mit einer sehr speziellen inneren Struktur: Einer Grundmenge möglicher Beobachtungen (z.B. die auftretenden Temperaturen) werden Grade des Zutreffens einer Aussage ("ist sehr warm") zugeordnet. Der Begriff Menge in fuzzy set bezieht sich auf die Menge der Beobachtungen, bei denen der Grad des Zutreffens der Aussage > 0 ist; der Begriff fuzzy deutet auf den variablen Grad des Zutreffens.

Die Fuzzy-Set-Theorie behandelt nicht die Frage, ob es unbekannt oder zweifelhaft ist, ob eine Aussage zutrifft. Einer Aussage als solcher wird überhaupt kein Wahrheitswert zugeordnet; die Grade des Zutreffens sind keine Wahrheitswerte, sondern eher Interpretationen eines originären gemessenen Werts.

Die Fuzzy-Set-Theorie liefert auch Methoden, den Grad des Zutreffens von Aussagen, in denen mehrere elementare Aussagen verknüpft sind ("das Wetter ist warm und trocken"), zu bestimmen. Die Verfahren zur Kombination von Zutreffensgraden können teilweise auch auf die Kombination von Wahrheitswerten der mehrwertigen Logiken angewandt werden.

Anwendung mehrwertiger Logiken

In der Hardwareentwicklung von Logikschaltungen werden mehrwertige Logiken zur Simulation eingesetzt, um verschiedene Zustände darzustellen sowie Tri-State-Gatter und Busse zu modellieren. In der Hardwarebeschreibungssprache VHDL wird zum Beispiel oft die im IEEE-Standard mit der Nummer 1164 definierte neunwertige Logik verwendet, die Standard Logic 1164. Sie hat die Werte

1. U undefiniert
2. X unbekannt (starker Treiber)
3. 0 logische Null (starker Treiber)
4. 1 logische Eins (starker Treiber)
5. Z hochohmig (hohe Impedanz Z)
6. W unbekannt (schwacher Treiber)
7. L logische Null low (schwacher Treiber)
8. H logische Eins high (schwacher Treiber)
9. - unwichtig don't care

Standard Logic 1164, eine neunwertige Logik zur Hardwaresimulation

In einer realen Schaltung treten nur 1, 0 und (bei Ein-/Ausgängen) Z auf. In der Simulation tritt der Zustand U bei Signalen auf, denen bisher noch kein anderer Wert zugewiesen wurde. Der Wert - (Don't-Care, wird außerhalb von VHDL oft mit X dargestellt) dient nur zur Synthese; er signalisiert dem Übersetzungsprogramm, dass ein bestimmter Zustand nicht vorgesehen ist und es daher egal ist, wie die synthetisierte Schaltung mit diesem Zustand umgeht.

Die Unterscheidung zwischen starken und schwachen Treibern dient dazu, in einem Konfliktfall (wenn zwei Ausgänge auf eine einzige Leitung zusammengeschaltet sind und verschiedene Werte liefern) zu entscheiden, welches Signal der entsprechenden Leitung zugeschrieben wird. Dieser Konflikt tritt oft bei Bussystemen auf, wo mehrere Busteilnehmer gleichzeitig anfangen, Daten zu senden. Trifft nun eine 1 (stark) auf ein L (schwach), so setzt sich das starke Signal durch, und der Signalleitung wird der Wert 1 zugeschrieben. Treffen jedoch gleichstarke Signale aufeinander, so geht die Signalleitung in einen undefinierten Zustand. Diese Zustände sind X (bei Konflikt zwischen 1 und 0) und W (bei Konflikt zwischen H und L).

Abgrenzung

Mehrwertige Logiken werden oft unter metaphysischen oder erkenntnistheoretischen Fragestellungen diskutiert. Darunter fällt z.B. die häufig gestellte Frage, welches logische System „stimmt“, d.h. welches logische System die Wirklichkeit richtig (oder besser: am besten) beschreibt. Unterschiedliche philosophische Strömungen geben auf diese Frage unterschiedliche Antworten; einige Strömungen, z.B. der Positivismus, lehnen gar die Fragestellung an sich als sinnlos ab.

Weblinks

• Siegfried Gottwald: Many-Valued Logic, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• Multiple-Valued Logic - An International Journal (MVL-IJ)
• Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing
• Melvin Fitting: Multiple-valued logics
• Nuel Belnap: (Some) papers and publications
• Zitate zu Nuel Belnap: A Useful Four-valued Logic

Einzelnachweise

1. ↑ Aristoteles, De interpretatione c. 9., zitiert nach Ewald Richter: „Logik, mehrwertige“, in: Historisches Wörterbuch der Philosophie. Band 5, Seite 444
2. ↑ Quelle für diesen und die folgenden Absätze ist Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Kapitel 2.1 „Grundprinzipien der mehrwertigen Logik“, Seite 19f. (siehe Literaturliste)
3. ↑ Diese und die folgenden Definitionen folgen insbesondere Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik, Kapitel 2.3.3 „Ausgezeichnete Quasiwahrheitswerte, Tautologien und Folgerungen“, Seite 32ff. (siehe Literaturliste)
4. ↑ vgl. Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik', Seite 44 (siehe Literaturliste)
5. ↑ Kurt Gödel: „Zum intuitionistischen Aussagenkalkül,“ Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse 69, Seite 65f.
6. ↑ Quelle für diese und die folgenden Informationen zu den Łukasiewicz-Logiken ist Kreiser/Gottwald/Stelzner: Nichtklassische Logik', Seite 41ff. und Seite 45ff (siehe Literaturliste)
7. ↑ Hajek, Petr: Fuzzy Logic. In: Edward N. Zalta: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2009. ([1])

Literatur

• Lothar Kreiser, Siegfried Gottwald, Werner Stelzner (Hge.): Nichtklassische Logik. Eine Einführung, Berlin: Akademie-Verlag ²1990. ISBN 978-3-05-000274-3
• Alexander Alexandrowitsch Sinowjew: Über mehrwertige Logik. Ein Abriß, Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1968. (Auch Braunschweig: Vieweg und Basel: C.F. Winter. ISBN 978-3-528-08271-0)
• Siegfried Gottwald: Mehrwertige Logik. Ein Einführung in Theorie und Anwendung, Berlin: Akademie-Verlag, 1989, 1995. ISBN 978-3-05-000765-6