Arbelos

Das namengebende Schustermesser

Der Arbelos (griechisch für Schustermesser) oder die Sichel des Archimedes ist eine spezielle, von drei Halbkreisen begrenzte geometrische Figur. Der berühmte griechische Mathematiker Archimedes soll die Eigenschaften des Arbelos untersucht haben.

Der zusätzlich in die Skizze eingezeichnete Kreis stimmt im Flächeninhalt mit dem Arbelos überein.

Beweis

Man zeichne das Hilfsdreieck ABC. Die Seite AB ist die Hypotenuse des Dreiecks, bestehend aus den Abschnitten AD und DB. Nach dem zweiten Satz des Euklid ist das Quadrat über der Höhe des Dreiecks ABC gleich dem Produkt der beiden Hypotenusen-Abschnitte:

DC² = AD * DB

Der Kreis, dessen Durchmesser durch D und C geht, habe den Radius r. Die Höhe des Dreiecks ist also 2r. Die Strecke AB ist der Durchmesser des großen Halbkreises. Nenne ich den Radius des kleineren Halbkreises a und denjenigen des kleinsten Halbkreises b, so ist AB = 2a + 2b. Der Radius des großen Halbkreises ist demnach die Hälfte von 2a + 2b, also a + b.

Nach dem Höhensatz des Euklid gilt: (2r)² = 2a * 2b, also r² = a*b.

Mit algebraischen Methoden (also abstraktem Ausrechnen - diese standen den Griechen noch nicht zur Verfügung) sieht man schnell, dass die Behauptung stimmt (man gewinnt jedoch keinerlei Einsichten, warum das so ist). Der Flächeninhalt F des Arbelos ist gleich dem Flächeninhalt des großen Halbkreises minus dem Flächeninhalt der beiden kleinen Halbkreise:

$F_{Arbelos} = \frac{1}{2} \pi (a + b)^2 - (\frac{1}{2} \pi a^2 + \frac{1}{2} \pi b^2)$

$F_{Arbelos} = \frac{1}{2} \pi (a + b)^2 - \frac{1}{2} \pi (a^2 + b^2)$

$F_{Arbelos} = \frac{1}{2} \pi (a^2 + 2 a b + b^2 - a^2 - b^2)$

$F_{Arbelos} = \frac{1}{2} \pi \cdot 2 a b$

$F_{Arbelos} = \pi \cdot a \cdot b$

Der Flächeninhalt des Kreises, der durch D und C geht, ist r² π. Wie oben gezeigt, gilt nach dem zweiten Satz des Euklid r² = a*b. Ich kann also in der Formel für den Flächeninhalt des Arbelos statt a*b nunmehr r² einsetzen und erhalte

F_Arbelos = π*r².

Damit ist bewiesen, dass der Flächeninhalt des Arbelos gleich demjenigen des Kreises ist, der durch D und C geht.

Siehe auch

• Zwillingskreise des Archimedes

Weblinks

 Commons: Arbelos – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• http://www.retas.de/thomas/arbelos/arbelos.html