Michaelis-Menten-Theorie

Die nach Leonor Michaelis und Maud Menten benannte Michaelis-Menten-Theorie ist ein mathematisches Modell, das die Kinetik von Enzymen näherungsweise beschreibt. Sie gilt für enzymatisch katalysierte Reaktionen mit folgendem generellen Mechanismus: Das freie Enzym bindet zuerst reversibel an sein Substrat und bildet einen Enzym-Substrat-Komplex. Das Substrat wird anschließend umgewandelt und der Komplex zerfällt in das freie Enzym und das Reaktionsprodukt. Die Michaelis-Menten-Theorie erlaubt eine quantitative Beschreibung der anfänglichen Reaktionsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der vorhandenen Substratkonzentration und weiterer Parameter.

Theoretischer Hintergrund

Einfache Beschreibung einer enzymatischen Reaktion

Als Biokatalysatoren bilden Enzyme E mit ihrem Substrat S einen Komplex ES (Enzym-Substrat-Komplex), aus dem heraus sich die Reaktion zum Produkt P vollzieht:

k₁ und k'₁ sind die Geschwindigkeitskonstanten für die Assoziation (Zusammenlagerung) von E und S bzw. die Dissoziation des Enzym-Substrat-Komplexes ES. k₂ und k'₂ sind die entsprechenden Konstanten für die Reaktion zum Produkt bzw. die Rückreaktion zum Substrat. k₃ und k'₃ beschreiben die Dissoziation bzw. Assoziation eines Enzym-Produkt-Komplexes. Diese Rückreaktion findet unter den Bedingungen der Enzymkinetik, das heißt unmittelbar nach Mischung der Komponenten E und S, noch nicht statt, darum kann man k'₃=0 annehmen. Ferner wird die Umwandlung von ES zu EP (und nicht die spontane Freisetzung von P) gemessen, so dass die folgende Vereinfachung gerechtfertigt ist:

Dieses System lässt sich allgemein durch ein System aus Gewöhnliche Differentialgleichungen beschreiben (Massenwirkungskinetik), welches in der Regel nur numerisch zu lösen ist.^[1] Die Michaelis-Menten Kinetik ergibt sich erst unter der weiteren Annahme des Fließgleichgewichtes, stellt also einen Spezialfall der allgemeineren Massenwirkungskinetik dar.

Fließgleichgewicht

Im Allgemeinen sind Enzyme in der Lage, schwankende Substratkonzentrationen auszugleichen, d. h. sehr schnell ein Fließgleichgewicht („steady state“) dadurch einzustellen, dass sie ihre Tätigkeit dem Angebot anpassen. Dies bedeutet, dass die Konzentration des Enzym-Substrat-Komplexes auf der langsameren Zeitskala, die für den Prozess der Produktbildung gültig ist, konstant bleibt. Es gilt also ${d[ES] \over dt} = 0.$ Diese Annahme des Fließgleichgewichts wurde von G.E. Briggs und J.S. Haldane entwickelt. Die Michaelis-Menten Kinetik ist nur unter Annahme dieses Fließgleichgewichts, mit einer konstanten [ES] gültig.

Die Michaelis-Menten-Gleichung

Die aus der Reaktionsgleichung abgeleitete Michaelis-Menten-Kinetik lässt sich allgemein darstellen^[2] als:

$v_0= {v_{max} \cdot [S] \over K_m + [S]}$

v₀ gibt hierbei die initiale Reaktionsgeschwindigkeit bei einer bestimmten Substratkonzentration [S] an. v_max ist die maximale Reaktionsgeschwindigkeit.

Eine Kenngröße für eine enzymatische Reaktion ist die Michaeliskonstante K_m. Sie hängt von der jeweiligen enzymatischen Reaktion ab. K_m gibt die Substratkonzentration an, bei der die Umsatzgeschwindigkeit halbmaximal ist (  v = v_max/2  ), die also bei Halbsättigung vorliegt. Sie ergibt sich als

$K_m= {k'_1 + k_2 \over k_1}$

für den Fall, dass k₂ gegenüber k₁ nicht vernachlässigt werden kann (Briggs-Haldane-Situation). Ein Spezialfall ("Michaelis-Menten-Fall") ist gegeben wenn   k₂ << k'₁. Hierbei vereinfacht sich der K_m zu:

$K_m= {k'_1 \over k_1}$

Dies entspricht der Dissoziationskonstante des Enzym-Substrat-Komplexes. In diesem Fall kann man den K_m also als Maß für die Affinität des Enzyms für das Substrat betrachten.

Eine weitere wichtige Größe ist die Wechselzahl, auch molekulare Aktivität oder „turnover number“ genannt. Dies ist die Geschwindigkeitskonstante des geschwindigkeitsbestimmenden Schrittes der Reaktion und wird mit k_cat bezeichnet. Ist, wie im oben genannten Fall, der zweite Schritt geschwindigkeitsbestimmend, so ergibt sich aus der Definition der Reaktionsgeschwindigkeit, dass $v={d[P] \over dt} = k_{cat}[ES]$ und somit $k_{cat}={v_{max} \over ([E]+[ES])}$.

Sättigung der enzymatischen Reaktion

Im Gegensatz zur Kinetik unkatalysierter Reaktionen gibt es in der Enzymkinetik das Phänomen der Sättigung: bei sehr hohen Substratkonzentrationen kann die Umsatzgeschwindigkeit v nicht weiter gesteigert werden, das heißt es wird ein Wert v_max erreicht.

K_m entspricht ½ v_max

Die Sättigungsfunktion eines „Michaelis-Menten-Enzyms” lässt sich unter Verwendung der Parameter K_m und v_max wie folgt formulieren:

$v= {v_{max} \cdot [S] \over K_m + [S]}$

Diese Michaelis-Menten-Beziehung ist die Gleichung einer Hyperbel mit den folgenden in der Abbildung gezeigten Eigenschaften:

• Ihre Asymptoten entsprechen den Werten v_max (horizontale Achse) und K_m (vertikale Achse, gestrichelt);
• Gleicht die Substratkonzentration [S] dem K_m-Wert, so liegt die Hälfte des ursprünglich vorhandenen Enzyms [E]₀ in Form des Enzym-Substrat-Komplexes [ES] vor, die andere Hälfte ist frei [E].
• Da die Sättigung asymptotisch angenähert wird, sind hierzu Substratkonzentrationen erforderlich, die mehr als dem zehnfachen K_m-Wert entsprechen. Im Umkehrschluss gilt: Hat man für ein Enzym eine Sättigungshyperbel gemessen, d. h. die Umsatzgeschwindigkeit v als Funktion der Substratkonzentration [S] bestimmt, so lassen sich daraus v_max (die Aktivität) und K_m (die reziproke Affinität) ableiten. Ein relativ neues, einfaches und doch präzises Verfahren zu diesem Zweck ist die direkt-lineare Auftragung (siehe Enzymkinetik).

Inhibitoren und ihr Einfluss auf die Michaelis-Menten-Kinetik

Inhibitoren, darunter wichtige Medikamente und Gifte, ändern die Eigenschaften von Enzymen und hemmen die enzymatische Reaktion. Man kann Inhibitoren in verschiedene Klassen unterteilen (siehe dazu: Enzymhemmung). Je nach Wirkungsweise des Inhibitors, hat dieser einen unterschiedlichen Einfluss auf die Michaelis-Menten-Gleichung:

• „kompetitive“ Inhibitoren erhöhen den K_m-Wert, verändern v_max jedoch nicht.
• „unkompetitive“ Inhibitoren (selten anzutreffen) binden spezifisch an den Enzym-Substrat Komplex. Sie senken sowohl die v_max als auch den scheinbaren K_m-Wert.
• Inhibitoren vom Mischtyp erhöhen den K_m-Wert und erniedrigen v_max
• als Sonderfall des Mischtyps hat der „nichtkompetitive“ Inhibitor zu gelten, der ausschließlich den v_max-Wert senkt und den K_m-Wert unverändert lässt. Bei Einsubstrat-Enzymen kommt dieser Typus nicht vor.

Siehe auch

• Enzymhemmung
• Enzymkinetik

Literatur

• Andrés Illanes,: Enzyme biocatalysis: principles and applications. Springer, Dordrecht 2008, ISBN 978-1-402-08360-0.
• David L. Nelson, Michael M. Cox: Lehninger Biochemie. 4. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-68637-8. Kapitel: Enzyme.

Einzelnachweise

1. ↑ Chen WW, Niepel M, Sorger PK: Classic and contemporary approaches to modeling biochemical reactions. In: Genes Dev.. 24, Nr. 17, September 2010, S. 1861–75. doi:10.1101/gad.1945410. PMID 20810646.
2. ↑ Zur Herleitung siehe Enzyme Kinetics (PDF)