Minkowskidiagramm

Minkowski-Diagramm zur Übersetzung der Raum- und Zeitkoordinaten x und t eines Beobachters in die eines relativ dazu bewegten Beobachters (blau) bei 40% der Lichtgeschwindigkeit c. Die Maßstäbe aller vier Achsen sind gleich.

Das Minkowski-Diagramm wurde 1908 von Hermann Minkowski entwickelt und dient der Veranschaulichung der Eigenschaften von Raum und Zeit in der speziellen Relativitätstheorie. Es erlaubt ein quantitatives Verständnis der damit verbundenen Phänomene wie beispielsweise der Zeitdilatation und der Längenkontraktion ohne Formeln.

Das Minkowski-Diagramm ist ein Raum-Zeit-Diagramm mit nur einer Raum-Dimension. Dabei wird eine Überlagerung der Koordinatensysteme für zwei gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Beobachter dargestellt, so dass zu den Orts- und Zeitkoordinaten x und t, die der eine Beobachter zur Beschreibung des Geschehens verwendet, unmittelbar die des anderen x' und t' abgelesen werden können und umgekehrt. Aus dieser grafisch eineindeutigen Zuordnung von x und t zu x' und t' wird unmittelbar die Widerspruchsfreiheit zahlreicher scheinbar paradoxer Aussagen der Relativitätstheorie ersichtlich. Auch die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit erschließt sich grafisch als Folge der Eigenschaften von Raum und Zeit. Die Form des Diagramms folgt unmittelbar und ohne Formeln aus den Postulaten der speziellen Relativitätstheorie und verdeutlicht die enge Verwandtschaft von Raum und Zeit, die durch die Relativitätstheorie entdeckt wurde.

Grundlagen

Mit ct anstelle von t auf der Zeitachse wird die Weltlinie eines Lichtteilchen zu einer Geraden mit einer Steigung von 45°.

Zugunsten der Darstellbarkeit wird bei den Minkowski-Diagrammen auf zwei der drei Raumdimensionen verzichtet und nur das Geschehen in einer eindimensionalen Welt betrachtet. Anders als bei Weg-Zeit-Diagrammen üblich, wird der Weg auf der x-Achse (Abszisse) und die Zeit auf der y-Achse (Ordinate) dargestellt. Damit lässt sich beispielsweise das Geschehen auf einem horizontalen Weg unmittelbar in das Diagramm hineindenken, wobei sich dieser Weg mit dem Verstreichen der Zeit von unten nach oben durch das Diagramm hindurchbewegt. Jedes Objekt auf diesem Weg, wie beispielsweise ein Beobachter oder ein Fahrzeug, beschreibt auf diese Weise eine Linie im Diagramm, die man seine Weltlinie nennt.

Jeder Punkt in diesem Diagramm markiert eine bestimmte Stelle in Raum und Zeit. Eine solche Stelle wird als Ereignis bezeichnet unabhängig davon, ob zu dieser Zeit und an diesem Ort überhaupt etwas geschieht.

Es erweist sich als vorteilhaft, auf der Zeitachse nicht die Zeit t direkt sondern die zugeordnete Größe ct aufzutragen, wobei c = 299792,458 km/s die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Einer Sekunde entspricht auf diese Weise ein Abschnitt von 299792,458 km auf der Ordinate. Wegen x=ct für ein Lichtteilchen, das den Ursprung nach rechts passiert, ist seine Weltlinie eine um 45° geneigte Gerade im Diagramm, sofern für beide Koordinaten-Achsen der gleiche Maßstab gewählt wird.

Weg-Zeit-Diagramm in der newtonschen Physik

In der newtonschen Physik wird das Ereignis bei A von beiden Beobachtern demselben Zeitpunkt zugeordnet.

Das nebenstehende Diagramm stellt das Koordinatensystem eines Beobachters dar, den wir der Einfachheit halber als den Ruhenden bezeichnen wollen, und der sich bei x=0 befindet. Die Weltlinie des Beobachters ist daher mit der Zeitachse identisch. Jede Parallele zu dieser Achse entspräche einem ebenfalls ruhenden Objekt an einem anderen Ort. Die blaue Gerade entspricht dagegen einem Objekt, das sich mit konstanter Geschwindigkeit nach rechts bewegt, beispielsweise einem bewegten Beobachter.

Diese blaue Gerade lässt sich nun als die Zeitachse dieses Beobachters interpretieren, die zusammen mit der für beide Beobachter identischen Raumachse sein Koordinatensystem darstellt. Das entspricht einer Vereinbarung der beiden Beobachter, die Stelle x=0 und t=0 auch mit x'=0 und t'=0 zu bezeichnen. Das Koordinatensystem des bewegten Beobachters ist schiefwinklig. Der Maßstab auf seiner Zeitachse ist gestreckt. Zum Ablesen der Koordinaten eines Punktes werden die beiden Parallelen durch den Ereignispunkt zu den Achsen gebildet und ihr Schnittpunkt mit den Achsen betrachtet.

Es zeigt sich am Beispiel des Ereignisses A im Diagramm, dass der Zeitpunkt dieses Ereignisses für beide Beobachter wie erwartet der gleiche ist, lediglich für die Ortskoordinate werden verschiedene Werte ermittelt, da sich der bewegte Beobachter seit t=0 auf den Ort des Ereignisses zubewegt hat. Generell finden alle Ereignisse, die sich auf einer Parallelen zur Wegachse befinden, gleichzeitig statt und zwar für beide Beobachter. Es gibt nur eine universelle Zeit t=t', was sich in der Existenz einer gemeinsamen Wegachse äußert. Analog steht die Existenz zweier verschiedener Zeitachsen in Zusammenhang damit, dass beide Beobachter verschiedene Ortskoordinaten ermitteln. Diese grafische Übersetzung der Koordinaten x und t in x' und t' beziehungsweise umgekehrt erfolgt mathematisch über die so genannte Galilei-Transformation.

Minkowski-Diagramm in der speziellen Relativitätstheorie

In der Relativitätstheorie wird das Ereignis bei A unterschiedlichen Zeitpunkten zugeordnet.

Albert Einstein entdeckte nun, dass die obige Beschreibung der Verhältnisse nicht korrekt ist. Raum und Zeit sind so beschaffen, dass für die Übersetzung der Koordinaten zwischen bewegten Beobachtern andere Regeln gelten. Insbesondere finden Ereignisse, die ein Beobachter als gleichzeitig bewertet, für einen relativ dazu bewegten Beobachter zu verschiedenen Zeiten statt.

Im Minkowski-Diagramm entspricht diese Relativität der Gleichzeitigkeit der Existenz verschiedener Wegachsen für die beiden Beobachter. Jeder Beobachter interpretiert nach obiger Regel alle Ereignisse auf einer Geraden parallel zu seiner Wegachse als gleichzeitig. Der Ablauf des Geschehens aus der Sicht eines bestimmten Beobachters lässt sich damit grafisch durch Parallelverschiebung einer solchen Geraden von unten nach oben durch das Diagramm hindurch anschaulich nachvollziehen.

Bei Auftragung von ct anstelle t auf der Zeitachse erweist sich der Winkel α zwischen den beiden Wegachsen als identisch mit dem zwischen den beiden Zeitachsen. Als Ursache für diese Orientierung der Wegachsen lässt sich das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit interpretieren (siehe unten). Der Winkel α ergibt sich aus der Relativgeschwindigkeit v zu

$\tan(\alpha) = \frac{v}{c}$.

Die zugehörige Übersetzung der Koordinaten x und t in x' und t' beziehungsweise umgekehrt erfolgt mathematisch über die so genannte Lorentz-Transformation.

Symmetrische Darstellung mit Linien der Gleichzeitigkeit für beide Beobachter.

Für die grafische Übersetzung der Koordinaten muss jedoch berücksichtigt werden, dass in diesem Diagramm die Maßstäbe auf den gekippten Achsen länger sind als im oben geschilderten newtonschen Fall. Um dieses Problem zu umgehen, empfiehlt sich eine Verformung des gesamten Diagramms derart, dass der Maßstab auf sämtlichen Achsen gleich wird, während die Zuordnung von x und t zu x' und t' unverändert bleibt. Das gelingt mit einer Stauchung in Richtung 45° oder auch einer Streckung in Richtung 135° bis zu der Situation, in der die Winkelhalbierende der Zeitachsen auf der der Wegachsen senkrecht steht. Für den Winkel β zwischen den beiden Zeit- beziehungsweise Wegachsen gilt

$\sin(\beta) = \frac{v}{c}$.

In dieser symmetrischen Darstellung sind beide Beobachter beziehungsweise Koordinatensysteme völlig gleichwertig dargestellt. Eine Unterscheidung zwischen einem ruhenden und einem bewegten System ist nicht erkennbar und in der Relativitätstheorie auch nicht möglich. Die Gleichheit der Achsenmaßstäbe folgt in dieser symmetrischen Darstellung unmittelbar aus dem Relativitätsprinzip, einem der beiden Postulate der Relativitätstheorie. Danach haben die physikalischen Gesetze für alle Beobachter, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, das heißt keiner Beschleunigung unterliegen, dieselbe Gestalt. Alle diese so genannten Inertialsysteme sind damit ununterscheidbar. Bei verschiedenen Achsenmaßstäben könnte man jedoch bestimmte Bewegungsrichtungen im Raum, bei denen die Achsenmaßstäbe größer werden, von solchen unterscheiden, bei denen sie kleiner werden.

Zeitdilatation

Zeitdilatation: Beide Beobachter empfinden die Uhr des anderen verlangsamt.

Die Zeitdilatation besagt, dass eine Uhr, die sich relativ zu einem Beobachter bewegt, aus dessen Sicht langsamer zu laufen scheint, und damit auch die Zeit in diesem System selbst. Dieser Umstand kann unmittelbar aus dem nebenstehenden Minkowski-Diagramm abgelesen werden. Der Beobachter bewege sich vom Ursprung O in Richtung A und die Uhr von O in Richtung B. Alle Ereignisse, die dieser Beobachter bei A als gleichzeitig interpretiert, liegen auf der Parallelen zu seiner Wegachse, also der Geraden durch A und B. Wegen OB<OA ist jedoch auf der relativ zu ihm bewegten Uhr eine kleinere Zeit vergangen als auf der Uhr, die der Beobachter mit sich führt.

Ein zweiter Beobachter, der sich mit der einen Uhr von O nach B bewegt hat, wird jedoch behaupten, die andere Uhr befinde sich in diesem Moment erst bei C, und sie sei es daher, die langsamer laufe. Die unterschiedliche Interpretation dessen, was gleichzeitig an einem anderen Ort geschieht, ist die Ursache für diese scheinbar paradoxe Situation. Angesichts des Relativitätsprinzips ist die Frage, wer die Situation korrekt beurteilt, prinzipiell nicht beantwortbar und daher sinnlos.

Längenkontraktion

Längenkontraktion: Beide Beobachter empfinden die Maßstäbe des anderen verkürzt.

Die Längenkontraktion besagt, dass ein Längenmaßstab, der sich relativ zu einem Beobachter bewegt, aus dessen Sicht verkürzt erscheint, und damit auch der Raum in diesem System selbst. Der Beobachter bewege sich wieder auf der ct-Achse. Die Weltlinien der beiden Endpunkte eines relativ zu ihm bewegten Maßstabes bewegen sich entlang der ct'-Achse und parallel dazu durch A und B. Für den Beobachter reicht der Maßstab zur Zeit t=0 nur von O bis A. Für einen längs der ct'-Achse mitbewegten zweiten Beobachter, für den der Maßstab ruht, hat er im Moment t'=0 die größere Länge OB. Sie erscheint also dem ersten Beobachter wegen OA<OB verkürzt.

Der mitbewegte Beobachter wird einwenden, dass der erste Beobachter Anfangs- und Endpunkt bei O und A und damit gar nicht gleichzeitig erfasst habe, so dass er aufgrund seiner zwischenzeitlichen Bewegung eine falsche Länge ermittelt habe. Über die gleiche Argumentation ermittelt der zweite Beobachter für die Länge eines Maßstabes, dessen Endpunkte sich entlang der ct-Achse und parallel dazu durch C und D bewegen, eine Längenkontraktion von OD auf OC. Die scheinbar paradoxe Situation, dass für jeden die Maßstäbe des anderen verkürzt erscheinen, beruht wiederum auf der Relativität der Gleichzeitigkeit, wie das Minkowski-Diagramm zeigt.

Bei allen diesen Betrachtungen wurde vorausgesetzt, dass die Beobachter bei ihren Aussagen die ihnen bekannte Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes berücksichtigen. Das heißt, sie geben nicht an, was sie unmittelbar sehen, sondern das, was sie anhand der Signallaufzeit und der von ihnen ermittelten räumlichen Distanz zu den gesehenen Ereignissen für real halten.

Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit des Lichtteilchens, das A passiert, wird von beiden Beobachtern gleich eingeschätzt.

Das bedeutendere der beiden Postulate der speziellen Relativitätstheorie ist das so genannte Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Es besagt, dass die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem denselben Wert c hat, und zwar unabhängig von der Geschwindigkeit des Lichtsenders oder des Lichtempfängers. Alle Beobachter, die die Lichtgeschwindigkeit messen, kommen also, unabhängig von ihrem eigenen Bewegungszustand, zum selben Ergebnis. Diese Aussage erscheint zunächst paradox, ergibt sich aber grafisch unmittelbar aus dem Minkowski-Diagramm. Sie erklärt auch das Ergebnis des Michelson-Morley-Experiments, das vor der Entdeckung der Relativitätstheorie für Verwunderung sorgte.

Für Weltlinien zweier Lichtteilchen, die den Ursprung in unterschiedliche Richtungen passieren gilt x=ct und x=−ct, das heißt jedem Bahnpunkt entsprechen betragsmäßig gleiche Abschnitte auf der x- und der ct-Achse. Aus der Regel zur Ablesung von Koordinaten in einem schiefwinkligen Koordinatensystem ergibt sich damit, dass diese Weltlinien die beiden Winkelhalbierenden der x- und ct-Achse sind. Dem Minkowski-Diagramm entnimmt man nun, dass sie auch gleichzeitig die Winkelhalbierenden der x'- und ct'-Achse sind. Das heißt, beide Beobachter ermitteln für den Betrag der Geschwindigkeit dieser beiden Lichtteilchen denselben Wert c.

Minkowski-Diagramm für drei Koordinatensysteme. Es gilt v'=0,4c und v"=0,8c relativ zu dem ungestrichenen System.

Im Prinzip lassen sich in dieses Minkowski-Diagramm weitere Koordinatensysteme zu Beobachtern mit beliebiger Geschwindigkeit hinzufügen. Bei allen diesen Koordinatensystemen bilden die Weltlinien von Lichtteilchen die Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen. Je mehr sich die Relativgeschwindigkeiten der Lichtgeschwindigkeit nähern, umso mehr schmiegen sich die Koordinatenachsen mindestens eines der beteiligten Systeme an die Winkelhalbierende an. Die Wegachsen sind stets flacher als diese Winkelhalbierenden und die Zeitachsen stets steiler. Die Maßstäbe auf den jeweiligen Weg- und Zeitachsen sind stets gleich, unterscheiden sich jedoch im Allgemeinen von denen der anderen Koordinatensysteme.

Lichtgeschwindigkeit und Kausalität

Vergangenheit und Zukunft in Bezug auf den Koordinatenursprung. Eine entsprechende zeitliche Einordnung der Ereignisse im grauen Bereich ist nicht möglich.

Alle Geraden durch den Ursprung, die steiler als die beiden Weltlinien der Lichtteilchen verlaufen, entsprechen Objekten, die sich langsamer als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Da die Weltlinien der Lichtteilchen für alle Beobachter identisch sind, gilt diese Aussage unabhängig vom Beobachter. Vom Ursprung aus kann jeder Punkt oberhalb und zwischen den Weltlinien der beiden Lichtteilchen mit Unterlichtgeschwindigkeit erreicht werden, so dass jedes entsprechende Ereignis dort mit dem Ursprung in einer Ursache-Wirkungs-Beziehung stehen kann. Dieser Bereich wird als absolute Zukunft bezeichnet, da jedes dortige Ereignis unabhängig vom Beobachter später stattfindet als das Ereignis, das den Ursprung markiert, wovon man sich auf grafischem Wege leicht überzeugen kann.

Analog ist der Bereich unterhalb des Ursprungs und zwischen den Weltlinien der beiden Lichtteilchen die absolute Vergangenheit bezüglich des Ursprunges. Jedes Ereignis dort kann Ursache einer Wirkung am Ursprung sein und befindet sich eindeutig in der Vergangenheit.

Das Verhältnis zweier Ereignispunkte, die in dieser Weise in einer Ursache-Wirkungs-Beziehung stehen können, wird auch als zeitartig bezeichnet, da sie für alle Beobachter einen endlichen zeitlichen Abstand aufweisen. Dagegen stellt die Verbindungsstrecke stets die Zeitachse eines möglichen Koordinatensystems dar, für dessen Beobachter die beiden Ereignisse damit am selben Ort stattfinden. Lassen sich zwei Ereignisse gerade mit Lichtgeschwindigkeit verbinden, so nennt man sie lichtartig.

Im Prinzip lässt sich dem Minkowski-Diagramm eine weitere Raumdimension hinzufügen, so dass eine dreidimensionale Darstellung entsteht. In diesem Fall werden die Bereiche von Vergangenheit und Zukunft zu Kegeln, deren Spitzen sich im Ursprung berühren. Sie werden als Lichtkegel bezeichnet.

Lichtgeschwindigkeit als Grenze

Senden einer Nachricht mit Überlichtgeschwindigkeit von O über A nach B in die eigene Vergangenheit. Beide Beobachter beurteilen die zeitliche Reihenfolge der Ereignispaare O und A sowie A und B jedoch verschieden.

Analog würden alle Geraden durch den Ursprung, die flacher als die beiden Weltlinien der Lichtteilchen verlaufen, Objekten oder Signalen entsprechen, die sich mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen, und zwar mit dem obigen Argument wiederum unabhängig vom Beobachter. Damit kann zwischen allen Ereignissen außerhalb der Lichtkegel und dem am Ursprung selbst mit Lichtgeschwindigkeit kein Kontakt hergestellt werden. Das Verhältnis zweier solcher Ereignispunkte wird auch als raumartig bezeichnet, da sie für alle Beobachter einen endlichen Abstand aufweisen. Dagegen stellt die Verbindungsstrecke stets die Wegachse eines möglichen Koordinatensystems dar, für dessen Beobachter die beiden Ereignisse damit gleichzeitig stattfinden. Durch leichte Variation der Geschwindigkeit dieses Koordinatensystems in beide Richtungen lassen sich daher stets zwei Koordinatensysteme finden, deren Beobachter die zeitliche Reihenfolge dieser beiden Ereignisse unterschiedlich beurteilen.

Überlichtgeschwindigkeit würde daher bedeuten, dass zu jedem Beobachter, für den sich ein derartiges Objekt von X nach Y bewegen würde, sich ein anderer finden ließe, für den es sich von Y nach X bewegen würde, wiederum ohne dass die Frage, wer die Situation korrekt beschreibt, einen Sinn gäbe. Das Kausalitätsprinzip wäre damit verletzt.

Darüber hinaus ließen sich mit überlichtschnellen Signalen Informationen in die eigene Vergangenheit senden. So schickt in nebenstehendem Diagramm der Beobachter im x-ct-System eine Nachricht mit Überlichtgeschwindigkeit von O nach A. Im Punkt A wird es von einem Beobachter im x'-ct'-System empfangen, der es aus seiner Sicht mit Überlichtgeschwindigkeit zurückgeschickt, so dass es bei B und damit in der Vergangenheit von O eintrifft. Die Absurdität des Vorganges wird insbesondere dadurch deutlich, dass beide Beobachter anschließend behaupten, lediglich zum anderen Beobachter hin gerichtete Nachrichten beobachtet, aber keine einzige von dort empfangen zu haben, wie man dem Diagramm grafisch entnimmt.

Die Unmöglichkeit, einen Beobachter auf Lichtgeschwindigkeit oder gar darüber hinaus zu beschleunigen, äußert sich auch in dem Umstand, dass bei Lichtgeschwindigkeit seine Zeit- und Wegachse mit der Winkelhalbierenden zusammenfallen würden, so dass das Koordinatensystem als solches kollabieren würde.

Diese Überlegungen zeigen grafisch anhand des Minkowski-Diagramms, dass die Unüberwindlichkeit der Lichtgeschwindigkeit eine Folge der Struktur von Raum und Zeit darstellt und keine Eigenschaft der Dinge, wie beispielsweise eines lediglich unvollkommenen Raumschiffes.

Die Verwandtschaft von Raum und Zeit

Drehung eines rechtwinkligen Koordinatensystems im Raum. Sie ist formal verwandt mit der Scherung von Raum- und Zeitkoordinaten in der Relativitätstheorie.

Raum und Zeit erscheinen in den Grundgleichungen der Relativitätstheorie formal weitgehend gleichwertig nebeneinander und lassen sich daher zu einer vierdimensionalen Raumzeit vereinigen. Diese enge Verwandtschaft von Raum und Zeit zeigt sich auch im Minkowski-Diagramm.

Die bekannte Gleichwertigkeit der drei Dimensionen des Raumes äußert sich insbesondere in der Möglichkeit, sich im Raum zu drehen. Damit sind die drei Dimensionen nicht fest vorgegeben, sondern über die Definition eines Koordinatensystems frei wählbar. Raum und Zeit erscheinen dagegen in der newtonschen Physik strikt getrennt. In der speziellen Relativitätstheorie erweisen sich jedoch Relativbewegungen als eng verwandt mit Drehungen von Koordinatensystemen mit Raum- und Zeitachsen in der Raumzeit: Da der Winkel zwischen den beiden Raum- und den beiden Zeitachsen in der symmetrischen Darstellung gleich ist, steht die x-Achse senkrecht auf der ct'-Achse und ebenso die x'-Achse auf der ct-Achse. Die Anordnung der vier Achsen ist damit identisch mit der zweier gewöhnlicher rechtwinkliger Koordinatensysteme, die lediglich um den Winkel β gegeneinander gedreht wurden mit anschließender Vertauschung der beiden Zeitachsen. Damit ergibt sich eine Scherung der Achsen anstelle einer Drehung. Diese Vertauschung zweier Achsen sowie sämtliche Unterschiede zwischen Raum und Zeit lassen sich letztlich auf ein einziges Vorzeichen in der Gleichung zurückführen, die Raum und Zeit verknüpft, indem sie die so genannte Metrik der Raumzeit definiert.

Aus diesem Grund besteht die Bedeutung der Lichtgeschwindigkeit als fundamentaler Naturkonstante der Physik in erster Linie darin, diese Verbindung zwischen Raum und Zeit herzustellen. Der Umstand, dass sich Photonen mit dieser Geschwindigkeit bewegen, ist eher als Konsequenz dieser engen Verwandtschaft anzusehen. In der Relativitätstheorie ist es daher auch üblich, anstelle der Koordinaten x, y, z und t mit x₁ bis x₄ zu rechnen, wobei x₄'=ct. Alle Formeln vereinfachen sich damit erheblich, und für die Lichtgeschwindigkeit ergibt sich in diesen Einheiten eine dimensionslose Zahl c=1.

Siehe auch: Minkowski-Raum, Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum

Weblinks

• Interaktives Minkowski-Diagramm (Uni Konstanz)
• Gute Erklärung des Minkowski-Diagramms