Minkowski Ungleichung

Die Minkowski-Ungleichung (nach Hermann Minkowski) ist eine Aussage der Funktionalanalysis. Sie besagt, dass die Dreiecksungleichung in den L^p-Räumen gilt.

Formulierung

Sei S ein Maßraum, $1 \leq p \leq \infty$ sowie $f, g \in L^p(S)$. Dann folgt $f + g \in L^p(S)$, und es gilt

$\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p ,$

wobei die Gleichheit im Fall $1 < p < \infty$ genau dann vorliegt, wenn f und g positiv linear abhängig sind (d.h. es gibt $\lambda\ge0$ mit $f=\lambda\,g$ oder $g=\lambda\,f$).

Beweis

Die Minkowski-Ungleichung ist für p = 1 und $p = \infty$ trivial. Es sei daher $1 < p < \infty$. Wegen

$|f+g|^p \leq (|f|+|g|)^p \leq (2\cdot\max\{|f|,|g|\})^p = 2^p\max\{|f|^p,|g|^p\} \leq 2^p(|f|^p + |g|^p)$

ist $f+g \in L^p(S)$.

Sei im Folgenden o. B. d. A. $\|f+g\|_p > 0$. Nach der hölderschen Ungleichung gilt

$\begin{array}{lll} \| f+g \|_{p}^{p} = \int_S|f+g|^p&\leq&\int_S(|f|+|g|)(|f+g|)^{p-1}\\ &=&\int_S\left(|f|\cdot|f+g|^{p-1}\right) + \int_S\left(|g|\cdot|f+g|^{p-1}\right)\\ &\leq&\|f\|_p\cdot\||f+g|^{p-1}\|_q + \|g\|_p\cdot\||f+g|^{p-1}\|_q\\ &=&(\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\||f+g|^{p-1}\|_{q = \frac{p}{p - 1}}\\ &=&(\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\left(\int_S |f+g|^{(p-1)\cdot \frac{p}{p - 1}}\right)^{1 - \frac{1}{p}}\\ &=&(\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\frac{\int_S |f+g|^{p}}{\left(\int_S |f+g|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}}\\ &=&(\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\frac{\| f+g \|_{p}^{p}}{\| f+g \|_{p}},\\ \end{array}$

worin q den zu p konjugierten Hölder-Exponenten bezeichnet: $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1$. Dies impliziert die Minkowski-Ungleichung nach Multiplikation beider Seiten mit $\frac{\| f+g \|_{p}}{\| f+g \|_{p}^{p}}$.

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Spezialfall

Wie die höldersche Ungleichung kann auch die Minkowski-Ungleichung auf Folgen spezialisiert werden, indem man das Zählmaß verwendet:

$\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}$

für alle reellen (oder komplexen) Zahlen $x_1, \ldots , x_n$, $y_1, \ldots, y_n$.

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001, ISBN 3-7643-6613-3