Mischungsaufgaben

Mischungsaufgaben oder Mischungsgleichungen sind eine Untergruppe mathematischer Problemstellungen, bei denen mehrere Stoffe mit unterschiedlichen Eigenschaften gemischt werden um einen Stoff mit vorherbestimmten, neuen Eigenschaften zu erhalten.

Die Eigenschaften der verschiedenen Stoffe können z. B. Alkoholgehalt, Preis, Fett- oder Wasseranteil usw. sein.

Mischungsaufgaben stellen sich häufig in der Chemischen Industrie, wenn aus zwei Vorprodukten oder Grundstoffen mit vorgegebenen Konzentrationen ein Mischungsprodukt mit einer definierten Konzentration hergestellt werden soll.

Beispiel

Mischung von Festkörpern

Eine Mischung aus insgesamt 60 kg Walnüssen und Erdnüssen soll 3,05 Euro pro Kilogramm kosten. Die Walnüsse kosten 3,20 Euro pro Kilogramm, die Erdnüsse 2,60 Euro pro Kilogramm. Wie viel ist von den beiden Sorten zu nehmen, damit sich der gewünschte Preis für die Mischung ergibt?

W = Gewicht der Walnüsse

E = Gewicht der Erdnüsse

1)
60 kg = W + E  →  W = 60 kg - E 

2)
Endpreis · "Endmenge" = (Kilopreis-W)· (Menge-W) + (Kilopreis-E) · (Menge-E)

Rechnung
3,05 € · 60 kg = 3,20 € · W + 2,60 € · E                      //  Einsetzen 1) in 2) 
3,05 € · 60 kg = 3,20 € · (60 kg - E) + 2,60 € · E            //  Klammer auflösen
3,05 € · 60 kg = 3,20 € · 60 kg - 3,20 € · E + 2,60 € · E     //  Zusammenfassen
3,05 € · 60 kg = 3,20 € · 60 kg - 0,60 € · E                  //  nach E umstellen
E = (3,20 € · 60 kg - 3,05 € · 60 kg) / 0,6€
E = 15 kg                                                     //  Einsetzen in 1)
W = 60 kg - 15 kg                                             
W = 45 kg

Ergebnis:

Man muss 15kg Erdnüsse mit 45kg Walnüssen mischen um 60kg Nüsse zum Preis von 3,05€/kg zu erhalten

Fluidmischung

Ein Biermischgetränk in einer 0,33l-Flasche hat einen Alkoholgehalt von 2,9%. Das ursprüngliche Bier hat 4% Alkoholgehalt. Wie viel Cola und wie viel Bier sind darin gemischt?

B = Biermenge in Litern

C = Colamenge in Litern

1)
0,33 l = B + C → C = 0,33 l - B

2)
0,33 l · 2,9 % = B · 4 % + C · 0 %    //  C · 0 % = 0
0,33 l · 2,9 % = B · 4 %              //  Nach B auflösen

B = (0,33 l · 2,9 %) / 4 %
B = 0,24 l                            //  Einsetzen in 1)

C = 0,33 l - 0,24 l
C = 0,09 l

Ergebnis:

Um 0,33 l Biermischgetränk mit 2,9% Alkohol zu erhalten sind 0,24 l Bier mit 4% Alkohol und 0,09 l Cola zu mischen