Modell (Mathematik)

Mathematische Modelle versuchen, die wesentlichen Parameter von Phänomenen zu erfassen und diese in einem berechenbaren Gleichungssystem, Differentialgleichungssystem o.ä. zur Vorhersage des beobachteten Systems zu nutzen. Berechenbarkeit meint hier sowohl die analytische Untersuchung als auch die Approximation mittels numerischer Verfahren. In der Regel sind auch die sogenannten physikalischen Modelle mathematische Modelle, allerdings solche, die sich auf physikalische Gesetzmäßigkeiten stützen.

Aufkommen und Verbreitung des Begriffs Modell

Die Vorstellung, dass Wissenschaft mit Modellen arbeitet, ist inzwischen Gemeingut.

Dass Modellvorstellungen eine zunehmend wichtige Rolle in der wissenschaftlichen Theoriebildung spielen, wurde bei der Diskussion von Atommodellen Anfang des 20. Jahrhunderts klar erkannt. Aufgrund der wissenschaftstheoretischen Vorbildfunktion der Physik hat sich der Begriff Modell, wie andere ursprünglich physikalische Begriffe auch, in andere Disziplinen ausgebreitet.

Modellgestützte Methoden sind nicht auf die Naturwissenschaften beschränkt. Zum Beispiel beruhen die bekannten zweidimensionalen Auftragungen funktionaler Zusammenhänge in den Wirtschaftswissenschaften auf radikal vereinfachender Modellbildung.

Modellierung eines Systems

Arten von Modellen, Methodik, Validierung

Eine wissenschaftliche Untersuchung, die zum Ziel hat, ein System mit Hilfe eines Modells zu beschreiben, besteht aus den drei Arbeitsschritten Formulierung, Untersuchung und Validierung des Modells. Von einer Simulation spricht man tendenziell dann, wenn das Interesse nicht der Modellbildung gilt, sondern ein als valide angenommenes Modell als Hilfsmittel eingesetzt wird, um das modellierte System näher zu untersuchen.

Grundidee bei der Formulierung eines wissenschaftlichen Modells (Modellbildung, Modellierung) ist die Reduktion von Komplexität: man versucht, Wirklichkeit beschreibbar und verstehbar zu machen, indem man sie vereinfacht. Kann das Modell quantitativ formuliert und durch einen geschlossenen Satz von Gleichungen beschrieben werden, spricht man von einem mathematischen Modell. Ist dieses Modell so komplex, dass es nur mit numerischen Methoden ausgewertet werden kann, spricht man von einem Computermodell. Hierbei kann ein weiterer Modellierungsschritt entstehen, der darin besteht, dass Modell so anzupassen, dass es mit den vorhandenen Computern und Algorithmen schnell und stabil ausgewertet werden kann.

Bei der Untersuchung des Modells sieht man von dem, was das Modell darstellen soll, ab; allein das Modell ist Gegenstand der Untersuchung; es ist eine dem Modell angemessene Methodik zu wählen.

Die Validierung des Modells besteht darin, Ergebnisse der Untersuchung des Modells mit bekannten Eigenschaften des durch das Modell repräsentierten Systems zu vergleichen. Ohne Validierung bleibt die Untersuchung von Modellen l'art pour l'art.

Erläuterung anhand eines Beispiels aus der Physik

Als Beispiel für die Untersuchung eines komplexen Phänomens mit Hilfe eines einfachen Modells mag das Heisenberg-Modell eines Ferromagneten dienen.

Formulierung des Modells

Magnetismus kann verschiedene Ursachen haben; in einem einzelnen Magneten können verschiedene Mechanismen wirken, die den Magnetismus hervorbringen, verstärken oder abschwächen; der Magnet kann aus kompliziert aufgebauten, verunreinigten Materialien bestehen; und so weiter. In dieses Durcheinander versucht man Licht zu bringen, indem man Modellsysteme untersucht. Ein physikalisches Modell für einen Ferromagneten kann etwa so lauten: eine unendlich ausgedehnte (man sieht also von Oberflächeneffekten ab), periodische (man sieht also von Gitterfehlern und Verunreinigungen ab) Anordnung atomarer Dipole (man konzentriert sich auf den Magnetismus gebundener Elektronen und beschreibt diesen in der einfachsten mathematischen Näherung).

Untersuchung des Modells

Um das soeben eingeführte physikalische Modell eines Ferromagneten zu untersuchen, sind verschiedene Methoden denkbar:

• Man könnte ein dreidimensionales, physisches Modell bauen, etwa ein Holzgitter (das das atomare Gitter repräsentiert), in dem frei bewegliche Stabmagneten (die die atomaren Dipole repräsentieren) aufgehängt sind. Dann könnte man experimentell untersuchen, wie sich die Stabmagneten in ihrer Ausrichtung gegenseitig beeinflussen.
• Da die Naturgesetze, denen die atomaren Dipole unterworfen sind, wohlbekannt sind, kann man aber auch den Modellmagneten durch ein System geschlossener Gleichungen beschreiben: auf diese Weise hat man aus dem physikalischen Modell ein mathematisches Modell erhalten.
  • Dieses mathematische Modell kann man in günstigen Fällen mit analytischen Methoden exakt oder asymptotisch lösen.
  • In vielen Fällen setzt man einen Computer ein, um ein mathematisches Modell numerisch auszuwerten.
• Ein so genanntes Computermodell ist nichts anderes als ein mathematisches Modell, das man mit dem Computer auswertet. Dieser Vorgang wird auch Computersimulation genannt.
• Die Untersuchung von Modellen kann sich, wie jede wissenschaftliche Tätigkeit, verselbständigen:
  • im genannten physikalischen Beispiel kann man die Anordnung der Dipole oder deren Wechselwirkung beliebig variieren. Damit verliert das Modell den Anspruch, eine Wirklichkeit zu beschreiben; man interessiert sich nun dafür, welche mathematischen Konsequenzen eine Änderung der physikalischen Annahmen hat.

Validierung des Modells

Man wählt Parameter aus, die man einerseits aus experimentellen Untersuchungen an realen Ferromagneten kennt und die man andererseits auch für das Modell bestimmen kann; im konkreten Beispiel zum Beispiel die magnetische Suszeptibilität als Funktion der Temperatur. Wenn Vorbild und Modell in diesem Parameter übereinstimmen, dann kann man zurückschließen, dass das Modell relevante Aspekte der Wirklichkeit korrekt wiedergibt.