Monochromatische Lösung

In der Diskreten Zahlentheorie der Mathematik beschreibt der Begriff einfarbige Lösung die Eigenschaft bestimmter Zahlen einer gefärbten Zahlenmenge $x_1 \ldots x_k \in [1,n] \subseteq \mathbb{N}$ gleich gefärbt zu sein und eine bestimmte Gleichung f(x) zu erfüllen.

Definition

Sei χ eine r-Färbung einer Menge von positiven Ganzzahlen und f eine Gleichung in Abhängigkeit von den Variablen $x_1 \ldots x_n$. χ besitzt genau dann eine einfarbige Lösung unter f, wenn Werte für $x_1 \ldots x_n$ existieren, die f erfüllen und die gleiche Färbung unter χ besitzen.

Eigenschaften

• Obige Definition erlaubt die Darstellung $f: c_1 x_1 + \ldots + c_{n-1} x_{n-1} = x_n$, wobei die c_i beliebige Faktoren sein können.
• Spezialfälle von f haben aufgrund ihrer Bedeutung eine Namen erhalten. So heißen beispielsweise Zahlen x,y,z mit x + y = z Schurtripel.
• Für n = 3 beschreibt f eine Ebene im dreidimensionalen Anschauungsraum.

Beispiele

Der Satz von Van der Waerden sichert die Existenz der Van-der-Waerden-Zahlen, insbesondere von w(3,r), der Zahl, für die es in der r-Färbung einer Zahlenmenge mit w(3,r) Elementen stets eine arithmetische Folge der Länge 3 gibt. Wir können diese Zahlen als {a,a + d,a + 2d} schreiben. Wir wählen anschließend x = a,y = a + 2d und z = a + d. Es entsteht als einfarbige Lösung die Gleichung x + y = 2z mit $x \not= y$, eine Ebenengleichung.

Ein weiteres Beispiel und Färbungsproblem der Ebene untersuchen die Schurzahlen.

Anwendungen

• Schurzahlen
• Schurtripel
• Satz von Schur
• Satz von Van der Waerden