Monogenes Signal

Das monogene Signal (aus dem Englischen von monogenic signal) ist eine Verallgemeinerung des analytischen Signals für d-dimensionale Signale, welches auf der Riesztransformation (s. unten) basiert. Für d = 1 entspricht das monogene Signal dem analytischen Signal. Das monogene Signal findet Anwendung in der Bildverarbeitung. Mit ihm können Bilder in lokale Amplitude und lokale Phase zerlegt werden, die dann unabhängig voneinander untersucht werden können.

Definition

Monogenes Signal

Es sei d eine natürliche Zahl und $f \in L^2(\mathbb{R}^d)$ eine Funktion. Dann ist das monogene Signal f_M definiert durch

$f_M := (f, R_1 f, \ldots, R_d f),$

wobei $R_j, j = 1,\ldots, d$ die j-te Komponente der Riesztransformation bezeichnet.

Riesz-Transformation

Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, $j = 1,\ldots, d,$ der Riesz-Transformation R_j ist definiert durch

$R_j f(x) := c_d \lim_{\epsilon \to 0} \int_{0 < \epsilon \leq \left| y \right| } \frac{y_j}{\left| y \right| ^{d+1}} f(x-y) \,dy$

mit

$c_d = \frac{\Gamma\left(\frac{d+1}{2}\right)}{\pi^{(d+1)/2}},$

wobei Γ die Gammafunktion bezeichnet.

Die Riesz-Transformation ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten R_j

$R f(x) := (R_1 f(x), \ldots, R_d f(x)).$

Zusammenhang mit dem analytischen Signal und der Hilberttransformation

Für d = 1 ist die Riesztransformation die Hilbert-Transformation H und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signal als komplexe Zahl auffasst, d. h.

$\left(f(x), R_1 f(x)\right) = f(x) + i R_1 f(x) = f(x) + i H f(x)$

Zerlegung in Phase und Amplitude

Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale Amplitude und lokale Phase. Die lokale Amplitude A ist in diesem Falle definiert durch

$A(x) = \sqrt{f^2(x) + (R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2},$

der lokale Phasenwinkel α durch

$\alpha(x) = \left| \operatorname{atan2}(\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}, f) \right|,$

die lokale Phasenrichtung u durch

$u(x) = \frac{(R_1 f(x), \ldots,R_d f(x))}{\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}}$

und die lokale Phase ϕ durch

$\phi(x) = \alpha(x)u(x) = \left| \operatorname{atan2}(\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}, f) \right|\frac{(R_1 f(x), \ldots,R_d f(x))}{\sqrt{(R_1 f(x))^2 + \ldots + (R_d f(x))^2}}.$

Beispiel

Testbild Zoneplate

lokale Amplitude

lokale Orientierung (lokale Phasenrichtung als Winkel dargestellt, weiß = π, schwarz = 0)

lokaler Phasenwinkel

Anwendung in der Bildanalyse

Fasst man die Funktion f als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:

• Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.
• Unter Verwendung einer Multiskalenanalyse kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.

Literatur

• M. Felsberg, G. Sommer: The monogenic signal. In: IEEE Transactions on Signal Processing. 49, Nr. 12, 2001, S. 3136-3144.
• S. Held, M. Storath, P. Massopust, B. Forster: Steerable Wavelet Frames Based on the Riesz Transform. In: IEEE Transactions on Image Processing. 19, Nr. 3, 2010, S. 653-667.

Software

Die folgenden Softwarepakete implementieren das monogene Signal auf Multiskalenbasis

• Monogenic Wavelet Toolbox for ImageJ, Technische Universität München
• MonogenicJ: A ImageJ plugin for wavelet-based monogenic analysis of images, EPF Lausanne