Monotoner Operator

Monotoner Operator ist ein Begriff aus der Mathematik. Er verallgemeinert den Begriff der Monotonie reeller Funktionen einer Variable:

$x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)$.

Dabei ist ein monotoner Operator folgendermaßen definiert:

Es seien V ein Banachraum und M eine konvexe Teilmenge von V.

$F:M \rightarrow V^*$ heißt monotoner Operator, falls für alle $x,y \in M$ gilt:

$\langle x-y,F(x)-F(y)\rangle~ \geq ~0$.

Hierbei bezeichnet V * den Dualraum zu V und $\langle \cdot,\cdot \rangle$ die Dualität $V \times V^* \rightarrow \mathbb{K},\,(x,f)\mapsto f(x)$.

Der Begriff des monotonen Operators hat viele Anwendungen in der nichtlinearen Funktionalanalysis, insbesondere bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen.