- Nabla Operator
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Der Nabla-Operator ist ein Operations-Symbol, das in der Vektoranalysis benutzt wird, um die drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation zu bezeichnen. Er wird durch das Nabla-Symbol bezeichnet oder durch (im englischen Sprachraum ), um seine Ähnlichkeit zu einem Vektor zu betonen. Sein Name stammt von der Bezeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte.
Formal ist der Nabla-Operator ein (Spalten-)Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren sind:
bzw. im 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem:
Dabei sind hier , und die 3 Einheitsvektoren des Koordinatensystems.
Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von mit einer rechts davon stehenden Funktion f als partielle Ableitung interpretiert wird.
Inhaltsverzeichnis
Allgemeiner Fall
Im n-dimensionalen Raum liefert das (formale) Produkt von mit einer Funktion (Skalarfeld) deren Gradienten:
Das (formale) Skalarprodukt mit einem Vektorfeld ergibt dessen Divergenz:
Spezialfall im Dreidimensionalen
Im dreidimensionalen Raum mit den kartesischen Koordinaten x, y, z stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:
- Angewandt auf ein Skalarfeld erhält man den Gradienten des Skalarfeldes
- Das Ergebnis ist ein Vektorfeld, sind die kartesischen Einheitsvektoren des .
- Angewandt auf ein Vektorfeld ergibt sich die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu
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- also ein Skalarfeld.
- Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds. Sie ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt als
-
- also wieder ein Vektorfeld.
Notation mit Subskript
Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion mit beispielsweise ist
im Gegensatz zu
- .
Rechenregeln
Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.
Sind und f Skalarfelder (Funktionen) und und Vektorfelder, so gilt:
- (Produktregel für Gradient)
- (siehe auch Laplace-Operator)
Weitere Rechenregeln siehe unter Gradienten, Divergenz und Rotation.
Siehe auch: Formelsammlung Nabla-Operator
Literatur
- Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3817120052 (Enthält alle hier genannten Eigenschaften, jedoch ohne Beweis.).
- Jänich: Vektoranalysis. Springer, 1992, ISBN 3540555307 (Enthält nur die grundlegende Definition.).
- Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner, Stuttgart 1991 (siehe insbesondere Abschnitt 3.6).
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