Nabla Operator

Nabla Operator

Der Nabla-Operator ist ein Operations-Symbol, das in der Vektoranalysis benutzt wird, um die drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation zu bezeichnen. Er wird durch das Nabla-Symbol \nabla bezeichnet oder durch \vec{\nabla} (im englischen Sprachraum \underline \nabla), um seine Ähnlichkeit zu einem Vektor zu betonen. Sein Name stammt von der Bezeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte.

Formal ist der Nabla-Operator ein (Spalten-)Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren \frac\partial{\partial x_i} sind:

\vec\nabla = \left (\frac\partial{\partial x_1},\ldots, \frac\partial{\partial x_n}\right)

bzw. im 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem:

\vec\nabla = \left(\frac\partial {\partial x}, \frac\partial {\partial y}, \frac\partial {\partial z}\right) = \vec e_1 \frac\partial {\partial x} + \vec e_2 \frac\partial {\partial y} + \vec e_3 \frac\partial {\partial z}

Dabei sind hier \vec e_1, \vec e_2 und \vec e_3 die 3 Einheitsvektoren des Koordinatensystems.

Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von \frac\partial{\partial x_i} mit einer rechts davon stehenden Funktion f als partielle Ableitung \frac{\partial f}{\partial x_i} interpretiert wird.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeiner Fall

Im n-dimensionalen Raum \mathbb R^n liefert das (formale) Produkt von \vec\nabla mit einer Funktion (Skalarfeld) deren Gradienten:

\vec\nabla  f = \operatorname{grad\ } f = \left (\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)

Das (formale) Skalarprodukt mit einem Vektorfeld \vec V = (V_1, \dots, V_n) ergibt dessen Divergenz:

\vec\nabla \cdot \vec V = \operatorname{div\ } \vec{V} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V_i}{\partial x_i}

Spezialfall im Dreidimensionalen

Im dreidimensionalen Raum mit den kartesischen Koordinaten x, y, z stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:


\operatorname{grad\ }\Phi = \vec\nabla \Phi =
\left(\frac{\partial\Phi}{\partial x}, \frac{\partial\Phi}{\partial y}, \frac{\partial\Phi}{\partial z}\right) =
\frac{\partial\Phi}{\partial x} \vec e_x + \frac{\partial\Phi}{\partial y} \vec  e_y + \frac{\partial\Phi}{\partial z} \vec e_z.
Das Ergebnis ist ein Vektorfeld, \vec e_x, \vec e_y, \vec e_z sind die kartesischen Einheitsvektoren des \mathbb R^3.
  • Angewandt auf ein Vektorfeld \begin{matrix} \vec{V}(x, y, z) \end{matrix} ergibt sich die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

\operatorname{div\ }\vec{V} =
\vec{\nabla} \cdot \vec{V} =
\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z},
also ein Skalarfeld.
  • Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds. Sie ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt als

\operatorname{rot\ }\vec{V} =
\vec{\nabla} \times \vec{V} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\
\frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\
\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \\
\end{pmatrix},
also wieder ein Vektorfeld.


Notation mit Subskript

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion f(\vec{r},t) mit \vec{r}=(x_1, x_2, ..., x_n) beispielsweise ist

\vec\nabla_{\vec{r}} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)

im Gegensatz zu

\vec\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}, \frac{\partial{f}}{\partial t}\right).


Rechenregeln

Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

Sind \psi,~\varphi und f Skalarfelder (Funktionen) und \vec A und \vec B Vektorfelder, so gilt:

\vec\nabla f(r)=\frac{\mathrm d f}{\mathrm d r}\frac{\vec r}{r}
\vec\nabla(\psi\varphi)=\psi\vec\nabla\varphi+\varphi\vec\nabla\psi (Produktregel für Gradient)
\vec\nabla(\vec A\cdot\vec B)=(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B+(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A+\vec A\times(\vec\nabla\times\vec B)+\vec B\times(\vec\nabla\times\vec A)
\vec\nabla\cdot(\varphi\vec A)=\varphi\vec\nabla\cdot\vec A+\vec A\cdot\vec\nabla\varphi
\vec\nabla\cdot(\vec A\times\vec B)=\vec B\cdot(\vec\nabla\times\vec A)-\vec A\cdot(\vec\nabla\times\vec B)
\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{div\ }(\operatorname{grad\ }\varphi)=\Delta\varphi (siehe auch Laplace-Operator)
\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=\operatorname{div\ }(\operatorname{rot\ }\vec A)=0
\vec\nabla\times(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{rot\ }(\operatorname{grad\ }\varphi)=0
\vec\nabla\times\varphi\vec A=\varphi\vec\nabla\times \vec A-\vec A\times\vec\nabla\varphi
\vec\nabla\times (\vec A\times\vec B)=(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A-\vec B(\vec\nabla\cdot\vec A)+\vec A(\vec\nabla\cdot\vec B)-(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B
\vec\nabla\times (\vec\nabla\times \vec A)=\operatorname{rot\ }(\operatorname{rot\ }\vec A)=\operatorname{grad\ }(\operatorname{div\ }\vec A) -\Delta\vec A

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradienten, Divergenz und Rotation.

Siehe auch: Formelsammlung Nabla-Operator

Literatur

  • Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3817120052 (Enthält alle hier genannten Eigenschaften, jedoch ohne Beweis.). 
  • Jänich: Vektoranalysis. Springer, 1992, ISBN 3540555307 (Enthält nur die grundlegende Definition.). 
  • Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner, Stuttgart 1991 (siehe insbesondere Abschnitt 3.6). 

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