Operator (Mathematik)

Ein Operator ist eine mathematische Vorschrift (ein Kalkül), durch die man aus mathematischen Objekten neue Objekte bilden kann. Er kann eine standardisierte Funktion oder eine Vorschrift über Funktionen sein. Anwendung finden die Operatoren bei Rechenoperationen, also bei manuellen oder bei maschinellen Berechnungen.

Operator

Standardisierte Operatoren werden in der Mathematik meist dann definiert, wenn es sich um eine häufige, immer wiederkehrende Vorschrift handelt, meist eine ein- oder zweistellige Verknüpfung. Die Argumente dieser Verknüpfung heißen Operanden. Diese Operatoren werden durch ein spezielles, kennzeichnendes mathematisches Symbol (ein spezielles Schriftzeichen der Formelschreibweise) dargestellt.

Beispiele:

• Die für die Grundrechenarten verwendeten Operatoren für Addition, der als das Pluszeichen «+» geschrieben wird, das Minus «−» für Subtraktion, die Malzeichen «·», «×» oder «*» für die Multiplikation, und die Division kann mit Geteiltzeichen «÷», «:», «/» oder mit Bruchstrich geschrieben werden
• Der einstellige Operator für die negative Zahl, der ebenfalls mit Minus «−» geschrieben wird
• Das Verkettungszeichen «$\circ$» für die Komposition von Funktionen
• Der Klassenbildungsoperator { | }

Operand

Die Argumente, auf die man einen Operator anwendet, heißen Operanden. Beim Ausdruck 1 + 2 sind also die Zahlen 1 und 2 die Operanden, die mit dem zweiseitigen Operator + verknüpft sind.

Operatoren in der Funktionalanalysis

In der Funktionalanalysis hat man es mit Vektorräumen zu tun, deren Elemente selbst Funktionen sind. Um die Elemente dieser Vektorräume besser von den Abbildungen zwischen solchen Vektorräumen zu unterscheiden, nennt man letztere auch Operatoren.

Beispiele

Bekannte Beispiele für Operatoren, die einer Funktion eine Zahl oder eine andere Funktion zuordnen, sind:

• Der Differentialoperator $\textstyle \operatorname{d}/\operatorname{d}x$ zur Bildung von Differentialen.
• Der Volterraoperator $\textstyle \int_0^t$ zur Bildung des bestimmten Integrals. Operatoren wie diese, die einer Funktion eine Zahl zuordnen, nennt man Funktional.
• Der Nabla-Operator $\nabla$ zur Bestimmung des Gradienten einer mehrdimensionalen Funktion.

Lineare Operatoren zwischen Vektorräumen

→ Hauptartikel: Linearer Operator

In der (linearen) Funktionalanalysis betrachtet man Eigenschaften von linearen Abbildungen zwischen (unendlichdimensionalen) Banachräumen. Solche Abbildungen heißen Operatoren. seien V und W Banachräume, dann nennt man also Abbildungen $T: V \rightarrow W$ mit

$f(\alpha X + \beta Y) = \alpha f(X) + \beta f(Y) \quad \forall\, \alpha, \beta \in K;\, X,Y \in V$

Operatoren. Manchmal, um die Linearität zu betonen, spricht man auch von einem linearen Operator. Entspricht der Raum Y dem Raum der reellen oder komplexen Zahlen so heißt die Abbildung T Funktional.

Die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Operatoren sind Beispiele für Operatoren im Sinne der (linearen) Funktionalanalysis. Spezielle Klassen linearer Operatoren sind etwa kompakte Operatoren oder Fredholm-Operatoren.

Nichtlineare Operatoren

In der (nichtlinearen) Funktionalanalysis nennt man Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen manchmal auch Operatoren. Seien also $(X,\|\cdot\|_X)$ und $(Y,\|\cdot\|_Y)$ normierter Räume und $\Omega \subset X$ eine Teilmenge, dann heißt die Abbildung $F \colon \Omega \to Y$ auch (nichtlinearer) Operator. Ist Y der Körper der reellen oder komplexen Zahlen, dann nennt man F manchmal auch (nichtlineares) Funktional.^[1] Ebenso wie im Bereich der linearen Operatoren bilden auch bei den nichtlinearen Operatoren die kompakten Operatoren eine wichtige Teilmenge.

Operatoren der Physik

Operatoren werden auch im mathematischen Kalkül der Physik definiert:

• Dichteoperator ρ,
• Ortsoperator $\hat{\mathbf{x}}$,
• Impulsoperator $\hat{\mathbf{p}}$,
• Hamilton-Operator $\hat H$ der Quantenmechanik

Literatur

• Formelzeichen, Formelsatz, Mathematische Zeichen und Begriffe. DIN-Taschenbuch 202. 1994-07.

Einzelnachweise

1. ↑ Klaus Deimling: Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1974, ISBN3-540-06888-0.

Siehe auch

• Logischer Operator
• Operatorrangfolge
• Operatorenrechnung