Nabla-Operator

Der Nabla-Operator ist ein Operations-Symbol, das in der Vektoranalysis benutzt wird, um die drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation zu bezeichnen. Er wird durch das Nabla-Symbol $\nabla$ bezeichnet oder durch $\vec{\nabla}$ (im englischen Sprachraum $\underline \nabla$), um seine Ähnlichkeit zu einem Vektor zu betonen. Sein Name stammt von der Bezeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte.

Formal ist der Nabla-Operator ein Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren $\textstyle\frac\partial{\partial x_i}$ sind:

$\vec\nabla = \left (\frac\partial{\partial x_1},\ldots, \frac\partial{\partial x_n}\right)$

Er kann dabei sowohl als Spalten-Vektor (z. B. grad) als auch als Zeilen-Vektor (z. B. div) auftreten.^[1] Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem schreibt man auch:

$\vec\nabla = \left(\frac\partial {\partial x}, \frac\partial {\partial y}, \frac\partial {\partial z}\right) = \vec e_x \frac\partial {\partial x} + \vec e_y \frac\partial {\partial y} + \vec e_z \frac\partial {\partial z}$

Dabei sind $\vec e_x$, $\vec e_y$ und $\vec e_z$ die Einheitsvektoren des Koordinatensystems.

Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von $\textstyle\frac\partial{\partial x_i}$ mit einer rechts davon stehenden Funktion f als partielle Ableitung $\textstyle\frac{\partial f}{\partial x_i}$ interpretiert wird.

Allgemeiner Fall

Im n-dimensionalen Raum $\mathbb R^n$ liefert das (formale) Produkt von $\vec\nabla$ mit einer Funktion f (Skalarfeld) deren Gradienten:

$\vec\nabla f = \operatorname{grad\ } f = \left (\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\top$

Das (formale) Skalarprodukt mit einem Vektorfeld $\vec V = (V_1, \dots, V_n)^\top$ ergibt dessen Divergenz:

$\vec\nabla \cdot \vec V = \operatorname{div\ } \vec{V} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V_i}{\partial x_i}$

Beispiel im Dreidimensionalen

Im dreidimensionalen Raum $\R^3$ mit den kartesischen Koordinaten x, y, z stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:

• Angewandt auf ein Skalarfeld $\begin{matrix} f(x,y,z) \end{matrix}$ erhält man den Gradienten des Skalarfeldes

$\operatorname{grad\ }f = \vec\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)^\top = \frac{\partial f}{\partial x} \vec e_x + \frac{\partial f}{\partial y} \vec e_y + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z.$

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Hierbei sind $\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z$ die kartesischen Einheitsvektoren des $\R^3$.

• Angewandt auf ein Vektorfeld $\begin{matrix} \vec{V}(x, y, z) \end{matrix}$ ergibt sich die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

$\operatorname{div\ }\vec{V} = \vec{\nabla} \cdot \vec{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z},$

also ein Skalarfeld.

• Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds. Sie ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt als

$\operatorname{rot\ }\vec{V} = \vec{\nabla} \times \vec{V} = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\[.5em] \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\[.5em] \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \end{pmatrix},$

also wieder ein Vektorfeld.

Notation mit Subskript

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion $f(\vec{r},t)$ mit $\vec{r}=(x_1, x_2, ..., x_n)$ beispielsweise ist

$\vec\nabla_{\vec{r}} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$

im Gegensatz zu

$\vec\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}, \frac{\partial{f}}{\partial t}\right)$.

Diese Bezeichnung ist üblich, wenn mit dem Nabla-Symbol das einfache Differential (d.h. die einzeilige Jacobi-Matrix) bzw. ein Teil davon bezeichnet wird.

Rechenregeln

Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

Sind $\psi,~\varphi$ und f Skalarfelder (Funktionen) und $\vec A$ und $\vec B$ Vektorfelder, so gilt:

$\vec\nabla f(r)=\frac{\mathrm d f}{\mathrm d r}\frac{\vec r}{r} \$ (Kugelsymmetrisches Feld)

$\vec\nabla(\psi\varphi)=\psi\vec\nabla\varphi+\varphi\vec\nabla\psi \$ (Produktregel für Gradient)

$\vec\nabla(\vec A\cdot\vec B)=(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B+(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A+\vec A\times(\vec\nabla\times\vec B)+\vec B\times(\vec\nabla\times\vec A)$

$\vec\nabla\cdot(\varphi\vec A)=\varphi\vec\nabla\cdot\vec A+\vec A\cdot\vec\nabla\varphi$

$\vec\nabla\cdot(\vec A\times\vec B)=\vec B\cdot(\vec\nabla\times\vec A)-\vec A\cdot(\vec\nabla\times\vec B)$

$\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{div\ }(\operatorname{grad\ }\varphi)=\Delta\varphi$ (siehe auch Laplace-Operator)

$\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=\operatorname{div\ }(\operatorname{rot\ }\vec A)=0$

$\vec\nabla\times(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{rot\ }(\operatorname{grad\ }\varphi)=0$

$\vec\nabla\times\varphi\vec A=\varphi\vec\nabla\times \vec A-\vec A\times\vec\nabla\varphi$

$\vec\nabla\times (\vec A\times\vec B)=(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A-\vec B(\vec\nabla\cdot\vec A)+\vec A(\vec\nabla\cdot\vec B)-(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B$

$\vec\nabla\times (\vec\nabla\times \vec A)=\operatorname{rot\ }(\operatorname{rot\ }\vec A)=\operatorname{grad\ }(\operatorname{div\ }\vec A) -\Delta\vec A$

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradient, Divergenz und Rotation.

Siehe auch: Formelsammlung Nabla-Operator

Literatur

• Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3817120052 (Enthält alle hier genannten Eigenschaften, jedoch ohne Beweis.).
• Jänich: Vektoranalysis. Springer, 1992, ISBN 3540555307 (Enthält nur die grundlegende Definition.).
• Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner, Stuttgart 1991 (siehe insbesondere Abschnitt 3.6).

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Zeilen- und Spaltenvektoren werden in der Differentialgeometrie und im mathematischen Formalismus der Relativitätstheorie auch als kovariant bzw. kontravariant bezeichnet. Der Ableitungsoperator nach den kovarianten Koordinaten bildet dabei einen kontravarianten Vektor und umgekehrt.