Nachschüssige Rente

Die Rentenrechnung ist ein klassisches Verfahren der Finanzmathematik.

Definition der Rente

Unter einer Rente versteht man eine periodische Folge von Zahlungen. Werden die im Voraus vereinbarten Zahlungen nur ausgeführt, wenn am betreffenden Zahlungstermin eine oder mehrere bestimmte Personen noch am Leben sind, spricht man von Leibrenten; sie sind Gegenstand der Versicherungsmathematik. Werden die vereinbarten Zahlungen unabhängig vom Leben der am Vertrag beteiligten Personen ausbezahlt, spricht man von Zeitrenten. Dieser Artikel beschäftigt sich ausschließlich mit Zeitrenten.

Grundbegriffe

Wir betrachten als Zeiteinheit ein Jahr und nehmen zudem an, dass jährlich derselbe Rentenbetrag r zu bezahlen ist. Eine Rente heißt nachschüssig oder Postnumerando-Rente, wenn die Zahlungen am Ende der einzelnen Vertragsjahre erfolgen; erfolgen sie am Anfang der Vertragsjahre, sprechen wir von einer vorschüssigen oder einer Pränumerando-Rente.

Denken wir uns, dass jemand in jährlichen Abständen n Beträge von r Euro an Zinseszins gelegt hat, so können wir nach dem Kapital fragen, welches am Ende des n-ten Jahres zur Verfügung steht. Man nennt es den Endwert der Rente.

Wir können aber auch nach dem Kapital fragen, welches bei Vertragsabschluss zur Verfügung stehen muss, damit man aus ihm und seinen Zinsen die einzelnen künftigen Zahlungen von r Euro bestreiten kann. Man nennt es den Barwert der Rente. (Beide Werte hängen natürlich von der Anzahl n der Rentenzahlungen und vom Zinsfuß p ab.)

Andere Sichtweise: Endwert und Barwert ersetzen die Folge der Rentenzahlungen durch eine unter Berücksichtigung der Zinseszinsen gleichwertige einmalige Zahlung.

Grundformeln

In den folgenden Formeln bezeichnet q den Aufzinsfaktor: $q=1+\frac{p}{100},$ falls p der in Prozent angegebene Zinsfuß ist.

	vorschüssig	nachschüssig
Barwert	$r\cdot\frac{q^n-1}{q^{n-1}(q-1)}$	$r\cdot\frac{q^n-1}{q^n(q-1)}$
Endwert	$r\cdot\frac{q(q^n-1)}{q-1}$	$r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$

Barwert (vorschüssig) aufgelöst nach n (mit b = Barwert) (lt. Derive 6):

$n=\frac{\ln{\left(\frac{r}{q \cdot r-b \cdot \left(q-1\right)}\right)}}{\ln{\left(q\right)}}+1$

Barwert (vorschüssig) aufgelöst nach r (mit b = Barwert) (lt. Derive 6):

$r = \frac{b \cdot q^{n-1} \left(q-1\right)}{q^n-1}$

Mathematischer Hintergrund

Für den Endwert der vorschüssigen Rente ergibt sich: Der erste Beitrag wird n mal verzinst, der zweite Beitrag n-1 mal verzinst usw. bis zum letzten Beitrag, der genau einmal (also ein Jahr lang) verzinst wird. D.h. der Endwert der vorschüssigen Rente ist

$r\cdot q^n + r\cdot q^{n-1} + \dots + r\cdot q = r\cdot (q^n + q^{n-1} + \dots + q)$

Wegen

$\begin{matrix}(q^n + q^{n-1} + \dots + q) \cdot (q - 1) &=& q^{n+1} + q^n + \dots + q^2 - q^n + q^{n-1} - \dots - q^2 - q \\ &=& q^{n-1} - q = q (q^n + 1)\end{matrix}$

lässt sich $q^n + q^{n+1} - \dots - q$ durch $\frac{q \cdot (q^n - 1)}{q - 1}$ ersetzen und man erhält die obige Formel. Die anderen Grundformeln lassen sich analog herleiten.

Siehe auch

• Geometrische Reihe
• Formelsammlung Betriebswirtschaftslehre
• Rentenbarwertfaktor
• Annuität (Investitionsrechnung)

Weblinks

• Direktes Ausrechnen von Barwert und Endwert sowie auch Zinssatz und Laufzeit
• Tutorial zur Rentenrechnung mit Übungsbeispielen und Lösungen